Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 21, 2010

Αποστάσεις ανάμεσα σε σημεία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:12 μμ

Δείξτε ότι δεν υπάρχουν 4 σημεία στο επίπεδο που ανά δύο να έχουν Ευκλείδια απόσταση που να είναι περιττός ακέραιος.

(Έμαθα το πρόβλημα αυτό από τον Μπάμπη Τσουρακάκη.)

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Έστω ότι υπάρχουν 4 τέτοια σημεία.
    Το παρακάτω site αναφέρει μια φόρμουλα (τύπος (10) ) που συνδέει τις 6 αποστάσεις μεταξύ τεσσάρων
    σημειων στο επίπεδο, με αναφορά Weinberg (1972),
    http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html
    και την οποία αντιγράφω
    d^{4}_{12} d^{2}_{34} +d^{4}_{13} d^{2}_{24} +d^{4}_{14} d^{2}_{23} +d^{4}_{23} d^{2}_{14} +d^{4}_{24} d^{2}_{13} +d^{4}_{34} d^{2}_{12} +d^{2}_{12} d^{2}_{23}d^{2}_{31} +d^{2}_{12} d^{2}_{24}d^{2}_{41} +d^{2}_{13} d^{2}_{34}d^{2}_{41} +d^{2}_{23} d^{2}_{34} d^{2}_{42} =

    d^{2}_{12}d^{2}_{23}d^{2}_{34}+d^{2}_{13}d^{2}_{32}d^{2}_{24}+d^{2}_{12}d^{2}_{24}d^{2}_{43}+d^{2}_{14}d^{2}_{42}d^{2}_{23}+d^{2}_{13}d^{2}_{34}d^{2}_{42}+d^{2}_{14}d^{2}_{43}d^{2}_{32}+d^{2}_{23}d^{2}_{31}d^{2}_{14}+d^{2}_{21}d^{2}_{13}d^{2}_{34}+d^{2}_{24}d^{2}_{41}d^{2}_{13}+d^{2}_{21}d^{2}_{14}d^{2}_{43}+d^{2}_{31}d^{2}_{12}d^{2}_{24}+d^{2}_{32}d^{2}_{21}d^{2}_{14}

    Στην περίπτωση μας, ο τυπος αυτος θα πρέπει να ισχύει για περιττά d_{12}, d_{13}, d_{14}, d_{23}, d_{24}, d_{34}.
    Κάθε όρος είναι γινόμενο έξι περιττών, άρα ισούται με 1, mod4
    και ο άνω τύπος δίνει 2 = 0 mod4. Άτοπο !

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Δεκέμβριος 1, 2010 @ 12:32 πμ

  2. henk&christos:

    Κατ’ αρχήν μια μικρή διόρθωση: οι προσθετέοι είναι όλοι 1 mod 4 επειδή είναι γινόμενα τετραγώνων και όλα τα τετράγωνα περιττών είναι 1 mod 4, όχι επειδή είναι έξι οι παράγοντες σε κάθε προσθετέο.

    Κατά τα άλλα έχεις δίκιο.

    Καλό θα ήταν, για να είναι αυτή μια πλήρης λύση, να μας εξηγήσεις το γιατί ισχύει κάτι τέτοιο (η σχέση ανάμεσα στις αποστάσεις που μας έγραψες).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 1, 2010 @ 8:00 μμ

  3. Συγνώμη, αλλα δεν έχω ιδέα !
    Έτυχε να βρω τη σχέση αυτή στο mathworld.wolfram και την πίστεψα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Δεκέμβριος 2, 2010 @ 12:30 πμ

  4. Ε, ψάχτο παρακάτω αν θέλεις ξεκινώντας μάλλον από τη σελίδα αυτή που βρήκες.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 2, 2010 @ 12:46 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: