Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 7, 2010

Παράγωγος και μέση ταλάντωση

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 7:28 μμ

Για μια αναλυτική (=ολόμορφη=παραγωγίσιμη) συνάρτηση f στον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο \mathbb D\subset\mathbb C, δείξτε ότι οι παρακάτω δυο ιδιότητες είναι ισοδύναμες:

(1) Υπάρχει μια σταθερά C>0 τέτοια ώστε \displaystyle\left|\frac{df (z)}{dz}\right|\leq C/(1-|z|) για κάθε z\in\mathbb D.
(2) Υπάρχει μια σταθερά C>0 τέτοια ώστε \displaystyle\frac1{r^2}\iint\limits_{D(z,r)}|f(x+iy)-f(z)|\, dxdy\leq C για κάθε υποδίσκο D(z,r)\subset\mathbb D.

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Μιά διευκρίνιση. Η φράση «για κάθε υποδίσκο του D» προφανώς σημαίνει για κάθε υποδίσκο που περιέχεται μαζι με το σύνορο του στο D. Σωστά ?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Ιουλίου 11, 2011 @ 12:59 μμ

  2. Δεν κάνει διαφορά, αν ο υποδίσκος είναι ανοιχτός ή κελιστός.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 11, 2011 @ 1:19 μμ

  3. Δηλαδή η πρόταση ισχύει και για κλειστούς δίσκους που εφάπτονται εσωτερικά του D. Μου φάνηκε λίγο περίεργο, γιατι φαίνεται ότι τότε το ολοκλήρωμα θα έχει προβλημα στη γωνία που αντιστοιχεί στο σημέιο «επαφής» αφού η f δεν ορίζεται εκεί. Αν λέω ασυναρτησίες ζητώ συγνώμη !

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Ιουλίου 11, 2011 @ 1:49 μμ

  4. Αν σε μπερδεύει, θεώρησε ότι ο υποδίσκος είναι ανοιχτός. Και κλειστός να είναι δεν υπάρχει πρόβλημα, αφού r<1. Δεν καταλαβαίνω τι ακριβώς σε προβληματίζει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 11, 2011 @ 3:23 μμ

  5. Η ερώτηση μου είναι αν η πρόταση ισχύει και για δίσκους της μορφής D(z,1-|z|). Μια που η «μέγιστη» δυνατη ακτίνα για να περιέχεται ο δισκος κεντρου z στο D είναι 1-|z|.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Ιουλίου 11, 2011 @ 3:31 μμ

  6. Ναι ισχύει και για τέτοιους ανοιχτούς δίσκους.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιουλίου 11, 2011 @ 3:57 μμ

  7. Οκ. Θα το κοιτάξω. Ευχαριστώ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Ιουλίου 11, 2011 @ 4:01 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: