Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 6, 2010

Άπειρα πολλαπλάσια

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 5:05 μμ

Για κάθε ανοιχτό σύνολο πραγματικών αριθμών που δεν είναι φραγμένο δείξτε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός που άπειρα πολλαπλάσιά του ανήκουν στο σύνολο.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Αφού το σύνολο Α δεν είναι φραγμένο υπάρχει αύξουσα ακολουθία x_n \rightarrow \infty με x_n \in A . Αφού το σύνολο είναι ανοικτό υπάρχουν \epsilon_i τέτοια ώστε B(x_i,\epsilon_i) \subset A και B(x_i,\epsilon_i) \bigcap B(x_j,\epsilon_j) = \emptyset .

    Θα βρω ένα a που άπειρα πολλαπλάσιά του θα ανήκουν στις μπάλες αυτές.

    Θα δείξω αρχικά ότι αν έχω ένα αριθμό a_k που k πολλαπλάσιά του ανήκουν σε k διαφορετικές μπάλες B(x_i,\frac{\epsilon_i}{2}) μπορώ να βρω a_{k+1} > a_k τέτοιο ώστε να ανήκουν k ίδια πολλαπλάσιά του στις ίδιες k μπάλες και να έχει και ένα πολλαπλάσιο σε μια καινούρια μπάλα (άρα τουλάχιστον k+1 πολλαπλάσια που ανήκουν στο Α).

    Με δεδομένες τις k μπάλες στις οποίες έχω πολλαπλάσια του a_k παίρνω \delta_k = min(\frac{e_i}{2} - |x_i - l_i a_k|) όπου l_ik είναι ένα πολλαπλάσιο που ανήκει στην B(x_i,\frac{\epsilon_i}{2}) . Βρίσκω τώρα ένα l_{k+1} > \frac{l_k a_k}{\delta_k} και για κάποιο δείκτη j l_{k+1} a_k \le x_j  k βλέπουμε ότι και l_i a \in B(x_i,\epsilon) . (παίρνω μεγαλύτερες μπάλες – που είναι υποσύνολα του Α – γιατί το όριο μπορεί να είναι και στο σύνορο της μικρής μπάλας).

    Αφού όμως αυτό ισχύει για κάθε k έχω ότι το a έχει άπειρα πολλαπλάσιά του σε αυτές τις μπάλες άρα και στο σύνολο Α.

    Παρατήρηση: αν δεν έχω ακολουθία αύξουσα που να πηγαίνει στο συν άπειρο παίρνω το σύνολο -Α και κάνω την ίδια διαδικασία. Ο αριθμός που βρίσκω έχει άπειρα πολλαπλάσια που ανήκουν στο αρχικό σύνολο Α.

    Ελπίζω να μην υπάρχει ένας πολύ πιο εύκολος και γρήγορος τρόπος να το δείξεις… 🙂

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Οκτώβριος 11, 2010 @ 2:59 μμ

  2. Πώς ακριβώς βρίσκεις ένα a;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 11, 2010 @ 3:08 μμ

  3. To latex μου έφαγε 1,5 παράγραφο….
    Θα προσπαθήσω να τη βάλω λίγο λίγο προς αποφυγή λαθών….
    συνεχίζοντας από το Με δεδομένες τις k μπάλες…

    Με δεδομένες τις k μπάλες στις οποίες έχω πολλαπλάσια του a_k παίρνω \delta_k = min(\frac{e_i}{2} - |x_i - l_i a_k|) όπου l_ik είναι ένα πολλαπλάσιο που ανήκει στην B(x_i,\frac{\epsilon_i}{2}) . Βρίσκω τώρα ένα l_{k+1} > \frac{l_k a_k}{\delta_k} και για κάποιο δείκτη j l_{k+1} a_k < x_j < (l_{k+1} + 1) a_k χωρίς να έχω πολλαπλάσιο του a_k στην μπάλα του x_j . Παρατηρώ ότι αν δε μπορώ να το επιλέξω σημαίνει ότι όλα τα x_n είναι πολλαπλάσια του a_k άρα έχω το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Οκτώβριος 11, 2010 @ 3:18 μμ

  4. και συνεχίζει…

    Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι το a_{k+1} = \frac{x_j}{l_{k+1}} έχει τις ζητούμενες ιδιότητες.

    Φτιάχνω έτσι μια ακολουθία \{ a_n \} που είναι αύξουσα και φραγμένη (αφού όλα έχουν πολλαπλάσιο στην πρώτη μπάλα είναι όλα μικρότερα πχ του x_2 ).
    Για το όριο της ακολουθίας αυτής ισχύει ότι έχει πολλαπλάσια στις k μπάλες που έχει πολλαπλάσια το a_k για κάθε k. (αφού l_i a_n \in B(x_i, \frac{\epsilon}{2}) για συγκεκριμένο i και n > k βλέπουμε ότι και l_i a \in B(x_i,\epsilon) . (παίρνω μεγαλύτερες μπάλες – που είναι υποσύνολα του Α – γιατί το όριο μπορεί να είναι και στο σύνορο της μικρής μπάλας).

    από κει και κάτω τα ίδια…

    Οπότε το a είναι είτε το όριο των a_k είτε το a_k στο οποίο τερματίζει η διαδικασία.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Οκτώβριος 11, 2010 @ 3:22 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: