Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 1, 2010

Εναλλαγή ορίου

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 5:10 μμ

Θεωρήστε μια ακολουθία από κυρτές συναρτήσεις f_n:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} που συγκλίνει σημειακά στην f. Αν οι f_n και f είναι παραγωγίσιμες στο x_0\in\mathbb{R}, δείξτε ότι f_n^{'}(x_0)\to f^{'}(x_0).

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Έστω a>x0 και x στο (x0,a).Αφού οι fn είναι κυρτές θα ισχύει [fn(x)-fn(x0)]/(x-x0) <= [fn(a)-fn(x0)]/(a-x0)x0,θα είναι fn'(x0)]<=(fn(a)-fn(x0))/(a-x0).Άρα αν αφήσουμε το n να τείνει στο άπειρο τότε Limfn'(x0)x0 παίρνουμε Limfn'(x0)<=f'(x0), αφού οι f,fn παρ/μες στο x0.Αν θεωρήσουμε τώρα c<x0<d και κάνουμε χρήση της δεξιάς ανισότητας θα είναι (fn(d)-fn(c))/(d-c)x0 έχουμε οτι (fn(x0)-fn(c))/(x0-c)απειρο , (f(x0)-f(c))/(x-c)x0, f'(x0)<=Limfn'(x0).Οι οριακές διαδικασίες είναι επιτρεπτές αφού οι fn,f είναι συνεχείς λόγω της κυρτότητας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Οκτώβριος 3, 2010 @ 4:33 πμ

  2. Δεν ξέρω τι έγινε και βγήκε το σχόλιο έτσι.Δοκιμάζω ξανά : Έστω a>x0 και x στο (x0,a).Αφού οι fn είναι κυρτές θα ισχύει [fn(x)-fn(x0)]/(x-x0) <= [fn(a)-fn(x0)]/(a-x0) x0,θα είναι fn'(x0) <= [fn(a)-fn(x0)]/(a-x0). Άρα αν αφήσουμε το n να τείνει στο άπειρο τότε Lim fn'(x0) x0 παίρνουμε Lim fn'(x0)<=f'(x0), αφού οι f,fn παρ/μες στο x0. Αν θεωρήσουμε τώρα c<x0<d και κάνουμε χρήση της δεξιάς ανισότητας θα είναι (fn(d)-fn(c))/(d-c)x0 έχουμε οτι (fn(x0)-fn(c))/(x0-c) απειρο , (f(x0)-f(c))/(x-c) x0, f'(x0) <= Lim fn'(x0). Οι οριακές διαδικασίες είναι επιτρεπτές αφού οι fn, f είναι συνεχείς λόγω της κυρτότητας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nixmtp — Οκτώβριος 3, 2010 @ 4:41 πμ

  3. Σωστή είναι η ιδέα σου. Για να εναλλάξουμε τα όρια χρειαζόμαστε κάποιου είδους ομοιομορφία που για κυρτές συναρτήσεις μας την παρέχει η μονοτονία των κλίσεων.

    Για να εμφανιστούν τα μαθηματικά σύμβολα πιο φιλικά (σε latex)
    γράφουμε το σύμβολο του δολλαρίου, τη λέξη latex, τον κώδικα latex, και κλείνουμε με το σύμβολο του δολλαρίου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Οκτώβριος 3, 2010 @ 9:07 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: