Προβλήματα Μαθηματικών

Σεπτεμβρίου 25, 2010

Ομοιόμορφο στρώσιμο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:57 μμ

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f: {\mathbb R} \to (0,+\infty) (αυστηρά θετική παντού) τέτοια ώστε

\sum_{n=-\infty}^\infty f(x-n) = 1, για κάθε x \in {\mathbb R};

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. Ναι.
    Για παράδειγμα η συνάρτηση που ορίζεται ως εξής:
    Στους φυσικούς παίρνει τις τιμές

    f(0)=1/2, f(n)=f(-n)=2^{-n-2}, για n\geq 1

    και είναι γραμμική μεταξύ διαδοχικών τιμών.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Οκτώβριος 1, 2010 @ 2:01 μμ

  2. Ορίζω την f ως την πολυγωνική γραμμή με
    f(0) = \frac{1}{2^1}
    f(1) = f(-1) = \frac{1}{2^3}
    f(2) = f(-2) = \frac{1}{2^4}
    ….

    f(n) = f(-n) = \frac{1}{2^n+2}
    Για x \in (0,1) έχω ότι
    \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(x-n) = f(x) + \sum_{n=1}^{\infty} \left( f(x+n) + f(x-n) \right) =

    f(0) + f'(x) \cdot x + \sum_{n=1}^{\infty} ( f(n) + f'(x+n) \cdot x + f(-n) + f'(x-n) \cdot x) =

    = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) + \lim_{n \rightarrow \infty} f'(x+n) = 1

    Παρατηρούμε ότι f'(x-n) = -f'(x+(n-1)) και ότι f'(x+n) = -\frac{1}{2^{n+3}} \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} f'(x+n) = 0

    Για x=0 είναι προφανές ενώ αν το x δεν ανήκει στο [0,1) το ζητούμενο άθροισμα θα είναι ίσο με το άθροισμα για το δεκαδικό μέρος του x οπότε πάλι ίσο με 1.

    Η f είναι εξ ορισμού θετική και συνεχής ως πολυγωνική γραμμή (και παραγωγίσιμη για x \notin \mathbb N)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Οκτώβριος 1, 2010 @ 2:08 μμ

  3. henk&christos, shortmanikos

    Η λύση σας είναι σωστή και έξυπνη: κανονίζουμε το άθροισμα να έχει τη σωστή στους ακεραίους και αφού είναι τμηματικά γραμμική συνάρτηση (ως άθροισμα τέτοιων) θα έχει και τη σωστή τιμή ενδιάμεσα.

    Πολύ ωραία.

    Το ερώτημα αυτό είχε τεθεί πριν από καμια 80αριά χρόνια από τον Steinhaus (εμφανίζεται στο λεγόμενο Scottish Book, ένα τετράδιο σημειώσεων που κράταγαν στη διάρκεια του μεσοπολέμου στο Scottish Cafe στο Lvov μερικοί πασίγνωστοι σήμερα μαθηματικοί που σημάδεψαν την πορεία των μαθηματικών τον 20ό αιώνα).

    Μπορείτε να φτιάξετε συνάρτηση που να έχει παράγωγο παντού;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 1, 2010 @ 4:47 μμ

  4. Η κατασκευή θα είναι ίδια με πριν απλά θα ενώσουμε τα σημεία με διαφορετικό τρόπο. Θα ενώνουμε τα σημεία με μια καμπύλη περίπου σαν το σχήμα του συμβόλου του ολοκληρώματος – τέτοια που η παράγωγός της να μηδενίζεται στα άκρα και να είναι συμμετρική ως προς το μέσο της. Ο μηδενισμός στα άκρα μας εγγυάται την παραγωγισιμότητα της f (τα μόνο προβληματικά είναι τα f(n) στα οποία με αυτόν τον τρόπο θα έχω πλέον παράγωγο 0). Η συμμετρία ως προς το μέσο μας εγγυάται ότι θα έχουμε και ενδιάμεσα τη σωστή τιμή.

    Για παράδειγμα παίρνω την k(x) = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} για x \in [0,\frac{1}{2}) και k(x) = \frac{1}{4} + \frac{(x-1)^2}{2} για x \in [\frac{1}{2}, 1] . Με αυτήν ενώνω τα f(0) = 1/2 και f(1) = 1/4. Με την 1/2 k(x) (κατάλληλα μετατοπισμένη) τα f(1) – f(2) κλπ. Με τους «καθρεπτισμούς» τους ενώνω τα f(0) – f(-1) κλπ Έτσι έχω ακριβώς τις ίδιες ιδιότητες με πριν και έχω και την παραγώγιση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Οκτώβριος 2, 2010 @ 11:19 μμ

  5. Μικρή διόρθωση… Όπως όρισα πριν την k(x) ενώνει σημεία (n,1/2^{n+2}) με σημεία (n+1,1/2^{(n+1)+2}) . Αυτό όμως δεν ισχύει για τα f(0) – f(1). Εκεί πρέπει να πάρουμε μια ελαφρώς διαφορετική καμπύλη για να ενώσουμε τα σημεία αλλά η λογική είναι εντελώς παρόμοια.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Οκτώβριος 2, 2010 @ 11:28 μμ

  6. shortmanikos:

    Πολύ σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 3, 2010 @ 12:12 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: