Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 17, 2010

Πυκνή τροχιά

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 7:31 μμ

Έστω X=\ell^2({\mathbb N}) ο γραμμικός χώρος όλων των πραγματικών ακολουθιών a=(a_1, a_2, \ldots) με

\|a\| := \sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots} < \infty.

Ο γραμμικός χώρος X είναι και μετρικός με τη μετρική d(a,b)=\|a-b\|. Ορίζουμε τη γραμμική απεικόνιση

T:X\to X,\ \ T(a) = (2a_2, 2a_3, 2a_4, \ldots)

(σπρώχνουμε όλες τις συντεταγμένες του διανύσματος μία θέση προς τα αριστερά και μετά τις πολλαπλασιάζουμε όλες επί 2).

Δείξτε ότι υπάρχει διάνυσμα a \in X τέτοιο ώστε το σύνολο (τροχιά)

a, T(a), T^2(a)=T(T(a)), T^3(a), \ldots

να είναι πυκνό στον X, δηλ. για κάθε σημείο x\in X υπάρχει υπακολουθία της τροχιάς του a που συγκλίνει στο x.

Advertisements

4 σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Ο χώρος \ell^2({\mathbb N}) έχει αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο με τη μετρική που περιγράφουμε. Για παράδειγμα το σύνολο όλων των ακολουθιών που είναι (α) τελικά μηδενικές και (β) έχουν ρητά στοιχεία, είναι και αριθμήσιμο και πυκνό όπως εύκολα μπορεί κανείς να αποδείξει. Αρκεί λοιπόν να βρεθεί ένα x \in \ell^2({\mathbb N}) του οποίου η τροχιά να προσεγγίζει όλα τα στοιχεία του πυκνού υποσυνόλου οσοδήποτε καλά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Αυγούστου 3, 2010 @ 4:46 μμ

  2. Συμβολίζω X=\ell^2,\;\mathcal{O}_a=\{a,T(a),T^2(a),\ldots\} και P=\{q_1,q_2,\ldots\} το πυκνό σύνολο που αναφέρετε. Έστω U,V\subseteq X ανοικτά, x\in U , y\in V \cap P ,\;\; x=(x_1,x_2,\ldots) , y=(y_1,y_2,\ldots,y_n,0,0,\ldots) και \varepsilon > 0 έτσι ώστε \{z\in X: \left \| y-z \right \|< \varepsilon \} \subseteq V . Αν m \geq n, x' = \frac{1}{2^m}(0,0,\ldots,0,x_1,x_2,\ldots) με m μηδενικά στην αρχή και το m αρκετά μεγάλο έτσι ώστε \left \| x' \right \| < \varepsilon τότε y+x'\in V και T^n(y+x')=x\in U .
    Άρα δείξαμε ότι αν U\subseteq X ανοικτό, το σύνολο A_U \equiv \{z\in X :\mathcal{O}_z \cap U \neq \emptyset \} είναι πυκνό στον X .
    Έστω U_{k,n}=\{z\in X : \left \| z-q_n \right \| < \frac{1}{k} \} . Αφού ο X είναι πλήρης μετρικός χώρος από το θεώρημα baire το S=\bigcap_{k,n=1}^{\infty} A_{U_{k,n}} είναι πυκνό στον X . Κάθε στοιχείο του S έχει πυκνή τροχιά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από pamp0s — Ιανουαρίου 21, 2011 @ 3:00 πμ

  3. Στη τέταρτη γραμμή πρέπει να είναι T^m(y+x')=x\in U .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από pamp0s — Ιανουαρίου 21, 2011 @ 3:03 πμ

  4. Πολύ σωστά. (Ξέχασες μόνο να πεις ότι τα σύνολα A_U είναι ανοιχτά.)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 21, 2011 @ 11:08 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: