Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 9, 2010

Κόψτε τα όλα στη μέση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 6:41 μμ

Δίνονται τρία σύνολα στον χώρο, και υποθέτουμε ότι έχουν πεπερασμένο όγκο. Είναι αλήθεια ότι υπάρχει ένα επίπεδο το οποίο να χωρίζει καθένα από τα σύνολα σε δυο υποσύνολα ίσου όγκου; Με άλλα λόγια, μπορείτε να τα κόψετε όλα στη μέση με μια μαχαιριά;

Advertisements

20 Σχόλια »

  1. Γνωρίζουμε αν είναι κυρτά τα υποσύνολα?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Μαΐου 10, 2010 @ 12:36 πμ

  2. Δεν κάνουμε κάποια υπόθεση για τα σύνολα. Αν όμως έχεις κάποια ιδέα για την περίπτωση που είναι κυρτά μπορείς φυσικά να μας την πεις.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 10, 2010 @ 10:19 πμ

  3. Σαν πρώτη σκέψη έιχα το θεώρημα του Helly… αλλά μου λείπουν αρκετές υποθέσεις…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Μαΐου 10, 2010 @ 3:51 μμ

  4. Στο θεώρημα τού Helly θέλεις τα σύνολα να είναι περισσότερα από τη διάσταση. Πάντως είναι κάποιο επώνυμο θεώρημα ανακατεμένο…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 10, 2010 @ 7:01 μμ

  5. Κάποιες γενικές ερωτήσεις: έχουμε τρία σύνολα. Το καθένα ξεχωριστά έχει πεπερασμένο όγκο, ή η τομή/ένωση των 3ών μαζί; Εννοόντας χώρο, εννοείτε τον R^n ή τον R^3;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Μαΐου 22, 2010 @ 3:08 πμ

  6. Είμαστε στον \mathbb R^3.
    Το καθένα έχει πεπερασμένο όγκο (δηλαδή είναι Lebesgue μετρήσιμα και έχουν πεπερασμένο μέτρο).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 22, 2010 @ 1:15 μμ

  7. Να υποθέσω ότι το ίδιο μπορεί να συμβεί και στις 2 διαστάσεις αν κάνεις παράλληλες μεταφορές και στροφές των συνόλων;Γίνεται και στις 3 διαστάσεις νομίζω!

    ΥΓ:Δεν έχω κάτσει να ασχοληθώ σοβαρά με τα μαθηματικά λόγω τεμπελιάς!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από tourout — Μαΐου 24, 2010 @ 1:47 πμ

  8. Μήπως είναι το Banach-Tarski Paradox… Αν πράγματι είναι αυτό, δεν ισχύει στις διαστάσεις 1,2… Αλλά από 3 και πάνω….

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Μαΐου 24, 2010 @ 2:01 πμ

  9. Στο Banach-Tarski parapox δεν παίρνεις ένα σύνολο και το κάνεις δύο;Το σκέφτηκα κι εγώ αλλά δεν ήμουνα σίγουρος!Βασικά η λάθος σκέψη μου πάνω σαυτό ήταν να πάρω το μισό σύνολο και χρησιμοποιώντας το παράδοξο να φτιάξω και το υπόλοιπο μισό για το κάθε σύνολο!Αλλά είναι υπερβολικά «κανονικό»!

    Βασικά αν ισχύει έστω στις 3 διαστάστεις αυτό που είπα το μόνο που θα πρέπει να δείξεις μετά είναι ότι το κάθε ένα από αυτά τα σύνολα
    μπορεί να «τμηθεί» στα δύο από ένα επίπεδο! Γεωμετρικά και μόνο, και σίγουρα για κυρτά σύνολα!

    Αλλιώς ίσως μπορεί να τροποποιηθεί μέσω ολοκληρωμάτων Lebesgue αλλά πραγματικά δεν ξέρω πως!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από tourout — Μαΐου 24, 2010 @ 2:24 πμ

  10. Δεν είναι το Banach-Tarski…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 24, 2010 @ 10:17 πμ

  11. Σκεφτείτε το εξής. Αν έχετε μόνο ένα σύνολο, τότε για ΚΑΘΕ κατεύθυνση, υπάρχει ένα επίπεδο κάθετο σ’ αυτήν την κατεύθυνση, το οποίο κόβει το σύνολο στα δύο (γιατί;). Επίσης, δεν ισχύει, γενικά, αν έχετε 4 σύνολα. Κάτι γίνεται με τον αριθμό 3.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 24, 2010 @ 12:29 μμ

  12. Νομίζω ότι μου ήρθε!Αλλά το έχω στο μυαλό μου σχηματικά!

    Μπορώ πάντα να βρω ένα επίπεδο που τέμνει και τα τρία σύνολα στον R3! Το λάθος που έκανα ήταν ότι σκεφτόμουνα ότι αν τα τρία σύνολα δεν είναι «συνευθειακά» δεν μπορείς να περάσεις επίπεδο κι απ’τα 3, το οποίο είναι ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΛΑΘΟΣ!

    Είναι σαν να παίρνεις την προβολή των συνόλων πάνω στο R2 και να θεωρείς το R2 ως το σύνολο που τα τέμνει!

    Δεν ξέρω όμως πως μπορώ να το ΑΠΟΔΕΙΞΩ!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από tourout — Μαΐου 24, 2010 @ 1:54 μμ

  13. Συγγνώμη για το double post, αλλά μου έρχονται σιγά σιγά και μάλιστα φοβάμαι μήπως είναι λάθος!

    Μπορείς να κλείσεις και τα 3 σύνολα σου μέσα σε δύο παράλληλα επίπεδα (όπου θα ακουμπούν τουλάχιστον πάνω στα δύο σύνολα) και να φέρεις το τρίτο επίπεδο με τέτοιο τρόπο ώστε να τμήσεις και τα 3 στη μέση! Ίσχύει αυτό; Για να δω μήπως μπορώ να το κάνω πιο σοβαρή απόδειξη! 😛

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από tourout — Μαΐου 24, 2010 @ 2:00 μμ

  14. Τα σύνολα έχουν πεπερασμένο όγκο, αλλά δεν είναι κατ’ ανάγκη φραγμένα. Επομένως μπορεί να μη γίνεται να τα κλείσεις ανάμεσα σε δυο παράλληλα επίπεδα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 24, 2010 @ 2:57 μμ

  15. Υπόδειξη:

    Υπάρχει ένα διάσημο θεώρημα στην Τοπολογία που λέει το εξής:
    Αν μια συνάρτηση f:S^2\to\mathbb R^2 είναι συνεχής τότε υπάρχει \xi\in S^2 τέτοιο ώστε f(\xi)=f(-\xi).
    S^2 είναι η επιφάνεια τής μοναδιαίας σφαίρας στον \mathbb R^3, δηλαδή το σύνολο όλων των κατευθύνσεων στον χώρο.
    Το θεώρημα ισχύει σε κάθε διάσταση. Εδώ μας ενδιαφέρει η διάσταση 2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 24, 2010 @ 4:26 μμ

  16. Αυτό μου θυμίζει το δισδιάστατο αντίστοιχό του, πώς χωρίζουμε στη μέση εξίσου το ασπράδι και τον κρόκο ενός αυγού. Δείτε το εδώ http://chickscope.beckman.uiuc.edu/explore/eggmath/wy/ όπως και java εφαρμογές για την επιτυχή διαίρεση, όπου σκιαγραφείται η λύση, ακόμα και όταν το αυγό είναι “ομελέτα”: http://chickscope.beckman.uiuc.edu/explore/eggmath/wy/wy_ex.html

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από iriniper — Μαΐου 28, 2010 @ 1:20 πμ

  17. Λύση στο τρισδιάστατο πρόβλημα, όπου θέλω να διαιρέσω εξίσου τα σύνολα Κ1, Κ2 και Κ3 με ένα επίπεδο: Ορίζουμε μια συνάρτηση f: S^3 –> R^3 (από την μοναδιαία 3-διάστατη σφαίρα στον 3-διάστατο ευκλείδιο χώρο) ως εξής:
    Για κάθε ξ=(ξο, ξ1, ξ2, ξ3) στην S^3 παίρνουμε τους ημίχωρους Ηξ+={x με x1*ξ1+x2*ξ2+x3*x3=ξο}
    Ορίζουμε την f ως εξής: fi(ξ)= Vol(Ηξ+ τομή_με Κi), i=1, 2, 3 (δηλ. fi(ξ)= όγκος της τομής του Ηξ+ με το Κi).
    Η f είναι συνεχής, οπότε σύμφωνα με την υπόδειξη θα υπάρχει ξ με f(ξ)=f(-ξ) που σημαίνει ότι Vol(Hξ+ τομή_με Κi)=Vol(Hξ- τομή_με Κi)=Vol(Ki)/2 για i=1,2,3. Δηλ το αντίστοιχο επίπεδο Ηξ={x με x1*ξ1+x2*ξ2+x3*x3=ξο} διαιρεί και τα τρία σύνολα «στα δύο».

    Να είμαι ειλικρινής, διάβασα την απόδειξη από εδώ, του «Θεωρήματος του σάντουιτς με ζαμπόν»: http://www.math.cornell.edu/~eranevo/homepage/TopMethNotes-2Margarita.pdf

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από iriniper — Μαΐου 28, 2010 @ 1:31 μμ

  18. Δεν ξέρω γιατί δεν γράφτηκαν σωστά οι ημίχωροι (κάτι έκανα). Είναι:
    Ηξ+={x με x1*ξ1+x2*ξ2+x3*x3=ξο}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από iriniper — Μαΐου 28, 2010 @ 1:35 μμ

  19. …δεν φταίω εγώ επομένως, κάτι συμβαίνει με την υποστήριξη χαρακτήρων, το ξαναγράφω,
    Ηξ+={x με x1*ξ1+x2*ξ2+x3*x3 μικρότερο ή ίσο με ξο}
    και Ηξ-={x με x1*ξ1+x2*ξ2+x3*x3 μεγαλύτερο ή ίσο με ξο}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από iriniper — Μαΐου 28, 2010 @ 1:37 μμ

  20. Σωστά. Υπάρχει και λύση (ισοδύναμη) που χρησιμοποιεί μια παρόμοια συνάρτηση από την S^2 στο \mathbb R^2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 28, 2010 @ 8:48 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: