Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 28, 2010

Επουσιώδης ανωμαλία

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:51 πμ

Έστω f:\mathbb D\smallsetminus\{0\}\to\mathbb C μια αναλυτική συνάρτηση (\mathbb D είναι ο ανοιχτός μοναδιαίος δίσκος), τέτοια ώστε \displaystyle \iint\limits_{\mathbb D\smallsetminus\{0\}}|f(x+iy)|^2\, dxdy<+\infty. Δείξτε ότι το \displaystyle \lim_{z\to0}f(z) υπάρχει.

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Ίσως δεν είναι και ιδιαίτερα αυστηρά μαθηματικά ορθό αυτό που θα πω, αλλά ένα επιχείρημα είναι οτι αν δεν υπήρχε το όριο, τότε θα είχε ουσιώδη ανωμαλία και από το μεγάλο Picard θα έπαιρνε τιμές όλους τους μιγαδικούς ίσως εκτός ενός σημείου.Άρα ο «όγκος» της σίγουρα δεν θα ήτανε πεπερασμένος.Ισχύει κάτι τέτοιο?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Μαΐου 1, 2010 @ 6:08 μμ

  2. Όχι. Την αναλυτικότητα τής συνάρτησης την χρησιμοποιείς μόνο για να συμπεράνεις ότι παίρνει όλες τις τιμές σε κάθε περιοχή τού μηδενός (μέσω Picard). Αυτό από μόνο του δεν συνεπάγεται ότι το ολοκλήρωμα είναι άπειρο.
    Άλλωστε ένα τέτοιο επιχείρημα δεν θα κάλυπτε την περίπτωση πόλου.
    Το ότι η ποσότητα είναι υψωμένη στο τετράγωνο έχει σημασία. Για παράδειγμα η f(z)=1/z έχει πόλο, αλλά παρ’ όλα αυτά
    \displaystyle \iint\limits_{\mathbb D\smallsetminus\{0\}}|f|^{1.99999}<+\infty.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 1, 2010 @ 7:25 μμ

  3. Kalimera. Mia erotisi tha ithela na kano. Afou i f einai analitiki sto monadiaio disko xoris to 0 tha mporousame na paroume ena 0<r<1, na kanoume ena metasximatismo sto olokliroma se polikes sintetagmenes kai na efarmosoume ton tipo tou Parseval oste na ipologisoume to olokliroma? Istera apla na steiloume to r sto 0 gia na xrisimopoiisoume to theorima tou Riemann kai na deiksoume oti i sinartisi einai fragmeni se mia perioxi tou midenos

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nk1986 — Μαΐου 2, 2010 @ 2:03 μμ

  4. Ποιο από τα θεωρήματα τού Riemann εννοείς;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 2, 2010 @ 2:08 μμ

  5. to theorima epousiodon anomalion

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nk1986 — Μαΐου 2, 2010 @ 3:00 μμ

  6. Εννοείς ότι αν η συνάρτηση είναι φραγμένη σε κάποια (τρύπια) περιοχή τού μηδενός, τότε το μηδέν είναι επουσιώδης ανωμαλία.
    Αυτό είναι σωστό. Μπορείς να δώσεις πιο λεπτομερώς το επιχείρημα ότι είναι όντως φραγμένη, ώστε να το καταλάβουν όλοι;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 2, 2010 @ 3:08 μμ

  7. Lipamai alla prospatho na to grapso kai den mporo giati ego grafo sto Mathematica kai den mporo na metafero ti lisi edo xoris na fainetai se kodika. tha prospathiso na to grapso allios kai tha to postaro

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nk1986 — Μαΐου 2, 2010 @ 7:10 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: