Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 24, 2010

Τριγωνομετρική σειρά

Έστω ότι για κάποια ακολουθία a_n\geq0, η συνάρτηση f:\mathbb R\to\mathbb R, με f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n|\sin nx| είναι καλά ορισμένη (δηλαδή η σειρά συγκλίνει για κάθε x). Δείξτε ότι η f είναι συνεχής.

Advertisements

12 Σχόλια »

  1. Χρησιμεύει το γεγονός ότι η a_n συγκίνει?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Απρίλιος 25, 2010 @ 3:41 πμ

  2. Εννοείς την ακολουθία ή την σειρά;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 25, 2010 @ 12:36 μμ

  3. Ναι με συγχωρείτε. Εννοώ αν βοηθά στην λύση το γεγονός ότι η σειρά \sum_{n=1}^{\infty} a_n συκλίνει;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Απρίλιος 25, 2010 @ 12:44 μμ

  4. Θα βοηθούσε πάρα πολύ, πρέπει όμως να το αποδείξεις γιατί δεν προκύπτει άμεσα από την υπόθεση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 25, 2010 @ 12:50 μμ

  5. Την μόνη απόδειξη την οποία έχω δει σχετικά με την σύγκλιση της συγκεκριμένης σειράς είναι με θεωρία μέτρου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Απρίλιος 25, 2010 @ 2:13 μμ

  6. Μπορείς να αποφύγεις την θεωρία μέτρου. Για την απόδειξη που έχω στο μυαλό μου, το μόνο που χρειάζεσαι είναι ότι μπορείς εναλλάξεις ολοκλήρωμα και άπειρο άθροισμα, αν οι συναρτήσεις είναι θετικές. Αυτό εύκολα κανείς μπορεί να το πιστέψει ακόμα κι αν δεν ξέρει θεωρία μέτρου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 25, 2010 @ 2:47 μμ

  7. Αρχικα θέτουμε το (0,2π) να ισούται με \cup_ {m=1}^{\infty}E_m, όπου το E_m={x \in (0,2 \pi): \sum_ {n=1}^{\infty}a_n |sin(nx)| \le m}. Τότε κάποιο E_m έχει |E_m|>0. Ολοκληρώνουμε και έχουμε \sum_{n=1}^{\infty}a_n \int_{E_m} sin^{2}(nx)dx \le \sum_{n=1}^{\infty}a_n \int_{E_m} |sin(nx)|dx \le m|E_m|. Από το \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{E_m} sin^{2}(nx)dx Το οποίο ισούται με |Ε_m|/2. Επομένως \sum_{n=1}^{\infty} a_n < + \infty

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Απρίλιος 25, 2010 @ 8:14 μμ

  8. Σωστά. Χρησιμοποίησες βέβαια κάμποση θεωρία μέτρου.
    Μπορεί να αποδειχτεί (πως;) ότι η f είναι φραγμένη σε κάποιο διάστημα.
    Έτσι όλα τα ολοκληρώματα πάνω στα E_m γίνονται ολοκληρώματα πάνω σ’ ένα διάστημα.
    Με τον τρόπο αυτόν αποφεύγεις τελείως τη θεωρία μέτρου modulo την εναλλαγή ολοκλήρωμα-άθροισμα.
    Κάποια ιδέα για το διάστημα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 25, 2010 @ 8:28 μμ

  9. Θα μπορούσατε να γράψετε την απόδειξη για την συγκλιση της σειράς η οποία δεν χρησιμοποιεί θεωρία μέτρου;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Απρίλιος 26, 2010 @ 3:49 μμ

  10. \displaystyle\mathbb R=\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{x:\sum_{k=1}^na_k|\sin kx|\leq m\right\}=\bigcup_{m=1}^{\infty}E_m.
    Τα σύνολα E_m είναι κλειστά σαν τομές κλειστών. Επομένως από το θεώρημα τού Baire, κάποιο έχει μη κενό εσωτερικό, δηλαδή περιέχει ένα διάστημα. Στο διάστημα αυτό η f είναι φραγμένη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 26, 2010 @ 7:08 μμ

  11. Στο δεύτερο post Σας, με ρωτάται αν εννοώ αν συγκλίνει η ακολουθία ή η σειρά. Αν όμως γνωρίζαμε ότι η ακολουθία a_n έφθινε προς το μηδέν, και γνωρίζαμε επιπλέον ότι ήταν και φραγμένης κύμανσης τότε δεν θα καταλήγαμε στο ίδιο αποτέλεσμα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Christian — Απρίλιος 26, 2010 @ 8:58 μμ

  12. Φαντάζομαι έχεις κατά νου άθροιση κατά μέρη (τύπος τού Abel).
    Δεν θα δουλέψει γιατί \displaystyle\sum_{n=1}^\infty|\sin nx|=+\infty σχεδόν παντού.
    Αν δεν είχες τα απόλυτα στα ημίτονα τότε ναι: Αν η ακολουθία είναι μηδενική και φραγμένης κύμανσης, τότε η αντίστοιχη τριγωνομετρική σειρά συγκλίνει για κάθε x.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 26, 2010 @ 10:08 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: