Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 21, 2010

Μόνο για μαζοχιστές

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 9:59 μμ

Υπολογίστε το όριο

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}^2\frac{1}{k}.

Advertisements

13 Σχόλια »

  1. Δεν ξέρω αν φταίει ο υπολογιστής μου, αλλα απο χτες, σε μερικά προβλήματα εμφανίζει σε μερικά σημεία (ας πούμε εδώ δεν βλέπω το όριο) το εξής «Formula does not parse».Δεν έκανα καμία αλλαγή όμως είτε σε πρόγραμμα είτε σε κάτι άλλο.Εσάς τα εμφανίζει όλα κανονικά; Έχω firefox, αλλα και με τον internet explorer το ίδιο ακριβώς πρόβλημα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Απρίλιος 22, 2010 @ 11:16 μμ

  2. Δεν βλέπω να υπάρχει πρόβλημα με τις διάφορες φόρμουλες (φυσικά ποτέ δεν ξέρει κανείς).

    Επίσης, όταν γράφετε ένα μεγάλο κείμενο, καλό είναι να το σώζετε σε ένα δικό σας αρχείο (με copy/paste) ώστε αν κάτι πάει στραβά να μπορείτε να το ξαναστείλετε χωρίς κόπο (πάλι με copy/paste μέσα στο κουτί).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 23, 2010 @ 10:02 πμ

  3. Να ένας μαζοχιστικός τρόπος να διατυπωθεί το πρόβλημα αν δεν κάνει parse η φόρμουλα:

    Το όριο καθώς το n πάει στο άπειρο τού (n!)^2/(2n)! επί το άθροισμα για k από 1 ως n τού n ανά k και όλο στο τετράγωνο επί 1/k

    Ή δείτε εδώ

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 23, 2010 @ 10:28 πμ

  4. Σήμερα όλα εμφανίζονται κανονικά!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Απρίλιος 23, 2010 @ 3:50 μμ

  5. Υπόδειξη:

    Αν φύγει το \displaystyle\lim_{n\to+\infty} και το \displaystyle\frac{1}{k}, τότε το άθροισμα που μένει είναι ίσο με…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 24, 2010 @ 9:34 μμ

  6. ..με 1-P(X=0), όπου X τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί υπεργεωμετρική κατανομή παραμέτρων 2n,n,n.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Απρίλιος 30, 2010 @ 11:07 πμ

  7. Είσαι σίγουρος ότι είναι 1-P(X=0); Το άθροισμα είναι τεράστιο…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 30, 2010 @ 11:58 πμ

  8. Θα έλεγα πως ναι, αν φύγει το όριο και ο παράγοντας 1/κ.
    Αν φύγει μόνο το όριο τότε
    \displaystyle\frac{(n!)^2}{(2n)!}\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}^1\frac{1}{k}
    ισούται με
    \displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}}{\binom{2n}{n}}\frac{1}{k}
    άρα με
    P(X=1) + 1/2 P(X=2) +…+ 1/n P(X=n)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Απρίλιος 30, 2010 @ 1:44 μμ

  9. Δοκιμή: \binom{n}{k}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Απρίλιος 30, 2010 @ 2:08 μμ

  10. Το ξαναγράφω για να φανεί καλύτερα:
    \frac{(n!)^2}{(2n)!}\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}^2\frac{1}{k} = \sum_{k=1}^n\frac{\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}}{\binom{2n}{n}}\frac{1}{k}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Απρίλιος 30, 2010 @ 2:12 μμ

  11. Σωστά. Το άθροισμα σκέτο είναι τεράστιο. Μαζί με τα παραγοντικά που είναι μπροστά ισούται μ’ αυτό που λες.
    Δεν ξέρω όμως αν η μετάφραση τού προβλήματος σε πιθανοθεωρητική γλώσσα θα βοηθήσει ή θα περιπλέξει τα πράγματα.
    Εγώ απλά θα έγραφα:
    \displaystyle\frac{(n!)^2}{(2n)!}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=1.
    Τώρα…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 30, 2010 @ 8:56 μμ

  12. Το οριο ειναι 0. Αυτο προκυπτει ουσιαστικα απο το γεγονος οτι το αθροισμα \sum_{k=0}^n\binom nk κυριαρχειται απο προσθετεους με k\sim n/2. Για να το δουμε αυτο αρκει να δειξουμε οτι

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}\binom{2n}n ^{-1}\sum_{\substack{1\le k\le n\\|k-n/2|>\epsilon n}}\binom nk^2=0\quad(\epsilon>0),

    το οποιο ειναι σχετικα ευκολο: πχ χρησιμοποιωντας την ανισοτητα \binom nk/\binom n{k+1}\ge\lambda>1 για καθε $k\le(1/2-\epsilon)n$, οπου \lambda=\lambda(\epsilon) και επειτα εφαρμοζοντας τον τυπο του Stirling. Τελος, ειναι τετριμμενο οτι

    \displaystyle \binom{2n}n ^{-1} \sum_{\substack{1\le k\le n\\|k-n/2|\le\epsilon n}} \binom nk^2\frac1k\le\frac1{n(1/2-\epsilon)}\binom{2n}n ^{-1}\sum_{1\le k\le n}\binom nk^2 \to 0 \quad (n\to\infty).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από partalopoulo — Μαΐου 15, 2010 @ 7:52 μμ

  13. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 15, 2010 @ 9:51 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: