Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 20, 2010

Βρείτε το λάθος (αν υπάρχει)

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 9:48 μμ

Η συνάρτηση f(z)=z^{\sqrt 2} είναι αναλυτική στο σύνολο \Omega=\mathbb C\smallsetminus(-\infty,0].
Επίσης, f(e^{2k\pi i/\sqrt2})=e^{2k\pi i}=1 για κάθε k\in\mathbb Z. Αλλά το σύνολο \{e^{2k\pi i/\sqrt2}:k\in\mathbb Z\} είναι πυκνό στον μοναδιαίο κύκλο, άρα έχει σημεία συσσώρευσης στο \Omega. Έτσι, από αρχή ταυτότητας, f=1 στο \Omega.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Δυστυχώς δεν γνωρίζω να γράφω μαθηματικά σύμβολα οπότε ίσως δεν είναι ξεκάθαρη η ιδέα μου, και για αυτό ζητώ συγνώμη.Ισχύει οτι (z^λ)^μ= (z)^(λμ) μόνο όταν -π<Im(λlogz)<=π.Τότε εδώ στην σχέση που έδωσα για z=e, λ=sqrt(2)kπi και μ=sqrt(2) δεν ισχύει οτι για κάθε k ακέραιο, -π<sqrt(2)kπ<=π και αρα δεν ισχυέι για κάθε k ότι το f(…)=1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Απρίλιος 21, 2010 @ 3:41 μμ

  2. Σωστά. Η απάτη βρίσκεται στην «αναλογία» με την περίπτωση που τα z,\lambda,\mu είναι πραγματικοί αριθμοί, οπότε έχουμε πάντα ότι (z^\lambda)^\mu=z^{\lambda\mu}. Η ίδια «απόδειξη» δουλεύει αν αντικαταστήσετε το \sqrt{2} από οποιονδήποτε άρρητο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 21, 2010 @ 4:16 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: