Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 8, 2010

Ένα κλασικό

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 10:47 μμ

Έστω f:(0,+\infty)\to\mathbb R δυο φορές παραγωγίσιμη. Θέτουμε A να είναι το supremum τής |f|, B να είναι το supremum τής |f'| και C να είναι το supremum τής |f''|. Δείξτε, αν δεν το ξέρετε, ότι B^2\leq 4AC.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Για τυχαίο x_k \in (0, +\infty) θα ισχύει f'(x_k) = B_k . Θα δείξω ότι |Β_κ| \le 4AC . Από αυτό προκύπτει άμεσα ότι και Β \le 4AC .
    Αν Β_k = 0 προφανές
    Αν Β_k > 0

    ορίζω g(x) = -Cx + B_k + Cx_k (Αν το C είναι άπειρο η σχέση είναι προφανής). Η g(x) τέμνει τον άξονα των x στο x_k + \frac{B_k}{C} και στο διάστημα
    (x_k,x_k + \frac{B_k}{C}) είναι g(x) \le f'(x) – αν δεν ισχύει ατό θα μπορούμε να βρούμε σημείο ξ που η παράγωγος της f στο ξ να είναι μεγαλύτερη του C (άτοπο).
    Αν \frac{B_1}{C} = d
    Παίρνοντας τα ολοκληρώματα των
    g και f' έχω ότι \frac{dΒ_k}{2} \le f(x_k + d) - f(x_k) \le 2A
    Επίσης C = \frac{B_k}{d}
    Άρα έχω ότι {Β_k}^2 \le 4AC

    Παρόμοια αν Β_k < 0 παίρνοντας την g(x) = Cx + B_k - Cx_k

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Οκτώβριος 6, 2010 @ 11:58 πμ

  2. Συγνώμη για τα λάθη στο latex πριν…
    Για τυχαίο x_k \in (0, +\infty) θα ισχύει f'(x_k) = B_k . Θα δείξω ότι {B_k}^2 \le 4AC . Από αυτό προκύπτει άμεσα ότι και B^2 \le 4AC .
    Αν B_k = 0 προφανές
    Αν B_k > 0

    ορίζω g(x) = -Cx + B_k + Cx_k (Αν το C είναι άπειρο η σχέση είναι προφανής). Η g(x) τέμνει τον άξονα των x στο x_k + \frac{B_k}{C} και στο διάστημα
    (x_k,x_k + \frac{B_k}{C}) είναι g(x) \le f'(x) – αν δεν ισχύει ατό θα μπορούμε να βρούμε σημείο ξ που η παράγωγος της f στο ξ να είναι μεγαλύτερη του C (άτοπο).
    Αν \frac{B_1}{C} = d
    Παίρνοντας τα ολοκληρώματα των
    g και f' έχω ότι \frac{dB_k}{2} \le f(x_k + d) - f(x_k) \le 2A
    Επίσης C = \frac{B_k}{d}
    Άρα έχω ότι {B_k}^2 \le 4AC

    Παρόμοια αν B_k < 0 παίρνοντας την g(x) = Cx + B_k - Cx_k

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Οκτώβριος 6, 2010 @ 12:02 μμ

  3. Σωστά. Εννοείς «…να βρούμε σημείο ξ που η δεύτερη παράγωγος της f στο ξ…»

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Οκτώβριος 6, 2010 @ 8:00 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: