Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 23, 2010

Πολυώνυμα πολλών μεταβλητών και παρεμβολή

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 5:58 μμ

Έστω x_0, x_1, \ldots, x_k διαφορετικά σημεία στο {\mathbb R}^d (με d\ge 1) και y_0, y_1, \ldots, y_k \in {\mathbb R}. Δείξτε ότι υπάρχει πολυώνυμο p(z), z=(z_1,\ldots,z_d), βαθμού \le k τέτοιο ώστε

p(x_j) = y_j για j=0,1,\ldots,k.

Βαθμός ενός πολυωνύμου πολλών μεταβλητών είναι ο μεγαλύτερος βαθμός των μονωνύμων που συμμετέχουν σε αυτό και βαθμός ενός μονωνύμου z_{i_1}^{n_1}\cdots z_{i_d}^{n_d} είναι το άθροισμα των εκθετών n_1+\cdots+n_d.

Advertisements

1 σχόλιο »

  1. Υπόδειξη:

    Για d=1 η απάντηση είναι γνωστή και εύκολη: για οποιαδήποτε διαφορετικά σημεία x_0,\ldots,x_k \in {\mathbb R} και οποιαδήποτε δεδομένα y_0,\ldots,y_k \in {\mathbb R} υπάρχει πολυώνυμο μιας μεταβλητής p(x), βαθμού έως k, τέτοιο ώστε p(x_j)=y_j για j=0,\ldots,k. Ένας έυκολος τρόπος να το δούμε αυτό είναι π.χ. με τον τύπο παρεμβολής του Lagrange:

    \displaystyle p(x) = \sum_{j=0}^k y_j \frac{\prod_{0\le i \le k,\ i\neq j} (x-x_i)}{\prod_{0\le i \le k,\ i\neq j} (x_j - x_i)}

    παρατηρώντας ότι για x=x_j όλοι οι προσθετέοι εκτός από ένα μηδενίζονται.

    Για να λύσετε το πρόβλημα για διάσταση d\ge 2 χρησιμοποιείστε μια ευθεία L στο χώρο {\mathbb R}^d τέτοια ώστε οι ορθογώνιες προβολές των σημείων x_j πάνω σε αυτήν να είναι όλες διαφορετικές.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 3, 2010 @ 11:51 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: