Προβλήματα Μαθηματικών

Φεβρουαρίου 15, 2010

Διαταραχές πινάκων

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 7:56 μμ

Θεωρήστε δύο πραγματικούς συμμετρικούς n\times n πίνακες A, B με ιδιοτιμές \lambda_1\le\cdots\le\lambda_n και \mu_1\le\cdots\le\mu_n, αντίστοιχα. Ας συμβολίζουμε με \rho_i τις ιδιοτιμές του πίνακα A-B. Δείξτε ότι

\displaystyle \sum_{k=1}^n (\lambda_k-\mu_k)^2\le\sum_{k=1}^n\rho_k^2\le\sum_{k=1}^n(\lambda_k-\mu_{n-k})^2.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Οι \rho_i^2 είναι οι ιδιοτιμές του (A-B)^2, επομένως η ποσότητα που θέλουμε να εκτιμήσουμε είναι το ίχνος του (A-B)^2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαρτίου 9, 2010 @ 4:55 μμ

  2. Το ιχνος του (Α-Β)^2 απο την γραμμικοτητα του ιχνους ισουται με το ιχνος του Α^2 συν το ιχνος του Β^2 μειον το ιχνος του 2 ΑΒ.

    Το προβλημα αναγεται στον να δώσουμε φραγματα για το ιχνος του ΑΒ. Χρησιμοποιώντας το spectral theorem για τα μητρώα Α,Β και αναπτυσοντας

    tr(AB) = sum_{i=1}^{ n} = sum_{i=1}{n} mu_i ,

    οπου v_i ειναι τα ιδιοδιανυσματα του Β. Η πρώτη ισότητα ισχύει διότι το ίχνος διατηρείται όταν κάνουμε αλλαγή βάσης. Επειτα γράφοντας τα ιδιοδιανύσματα του Β ως κυρτό συνδυασμό των ιδιοδιανυσμάτων του Α, το πρόβλημα ανάγεται σε ένα γραμμικό (?) (κυρτό) πρόγραμμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από zouzias — Ιουνίου 26, 2010 @ 8:34 μμ

  3. Πράγματι το πρόβλημα ανάγεται στο να βρούμε φράγματα για το tr(AB)=tr(BA).
    Από κει και πέρα όμως το επιχείρημά σου έχει κενά. Μπορείς να γίνεις πιο σαφής?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουνίου 27, 2010 @ 7:15 μμ

  4. Δεν ήξερα πως να γράψω λατεχ στο μπλογκ.

    Εστω v_i τα ιδιοδιανύσματα του μητρώου B, και u_i τα ιδιοδιανύσματα του A. Τότε

    tr(AB) = \sum_{i=1}^{n}  \langle v_i, AB v_i \rangle  = \sum_{i} \mu_i \langle v_i, A v_i \rangle,

    χρησιμοποιώντας το γεγόνός οτι το ίχνος παραμένει το ίδιο μετά από αλλαγή βάσης στην πρώτη εξίσωση, tr(AB) = tr( V AB V^T), οπου το μητρώο V έχει ώς γραμμές τα ιδιοδιανύσματα του Β.

    Τώρα, ας εκφράσουμε τα ιδιοδιανύσματα του Β ως γραμμικό συνδυασμό των ιδιοδιανύσματων του Α, v_i = \sum_{j} \alpha^i_j u_j. Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση, έχουμε ότι

    tr(AB) = \sum_{i} \mu_i \langle \sum_{j} \alpha^i_j u_i, A  \sum_{j} \alpha^i_j u_i\rangle   = \sum_{i} \mu_i \langle \sum_{j} \alpha^i_j u_j,  \sum_{j} \lambda_i \alpha^i_j u_j\rangle =  \sum_{i} \mu_i \sum_{j} \lambda_j (\alpha^i_j)^2 ,

    Παρατηρήστε ότι μέχρι στιγμή έχουμε ισότητα. Χρησιμοποιώντας το γεγονός οτι το άθροισμα των τετραγώνων των \alpha_j ισούται με 1 μπορούν να δώσουν το ζητούμενο (με λίγο ακόμα κόπο, το αφήνω για τον επόμενο αναγνώστη).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από zouzias — Ιουνίου 27, 2010 @ 8:35 μμ

  5. Ωραία ως εδώ, αυτό που απομένει όμως δεν είναι εντελώς τετριμμένο. Μάλιστα είναι το ζητούμενο μιας άλλης άσκησης που έχει μπει στο blog μας και παραμένει άλυτη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουνίου 28, 2010 @ 1:28 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: