Έστω η ακολουθία όλων των πρώτων αριθμών και ας θεωρήσουμε μια ακολουθία από σύνθετους αριθμούς που είναι μεταξύ τους σχετικά πρώτοι: . Συγκλίνει η σειρά
6 Φεβρουαρίου, 2010
4 Σχόλια »
RSS feed for comments on this post. TrackBack URI
Έστω η ακολουθία όλων των πρώτων αριθμών και ας θεωρήσουμε μια ακολουθία από σύνθετους αριθμούς που είναι μεταξύ τους σχετικά πρώτοι: . Συγκλίνει η σειρά
RSS feed for comments on this post. TrackBack URI
Εδώ θα τοποθετούμε προβλήματα μαθηματικών που θεωρούμε όμορφα. Τα πιο πολλά από αυτά δεν είναι τελείως στοιχειώδη και, κατά κανόνα, απαιτούν κάποιες γνώσεις μαθηματικών που αποκτά κανείς στο Πανεπιστήμιο (ή τουλάχιστον θα έπρεπε ...).
Στα σχόλια κάθε προβλήματος μπορείτε να γράφετε λύσεις, ιδέες, αντιρρήσεις, ερωτήσεις, σχολιασμούς, κλπ.
Αν έχετε κάποιο καλό πρόβλημα που θα θέλατε να αναρτηθεί εδώ στείλτε μας το με e-mail.
Ποιοί συνεισφέρουν προβλήματα:
Themis Mitsis στη Όρια ορίων και η χαρακτηριστικ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Όρια ορίων και η χαρακτηριστικ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Πόσα παιδιά είναι αγόρια; | |
George Rizopulos στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
Mihalis Kolountzakis στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
George Rizopulos στη Μπορείτε να σκοτώσετε τον… | |
George Rizopulos στη ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σ… | |
George Rizopulos στη ΕΡΕΥΝΑ: «Έχετε απατήσει τη/ο σ… | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
Κωνσταντίνος Κουρουζ… στη Απλά γραφήματα | |
ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟ… στη Απλά γραφήματα |
Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.
Αν τότε ικανοποιούνται οι υποθέσεις για την και η σειρά δεν συγκλίνει.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από pamp0s — 7 Φεβρουαρίου, 2010 @ 4:50 μμ
Σ’ αυτήν την περίπτωση αποκλίνει. Αποκλίνει όμως σε κάθε περίπτωση… αυτό θα θέλαμε να δείξουμε.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Michalis Loulakis — 7 Φεβρουαρίου, 2010 @ 10:48 μμ
Τα γραμματα θα δηλωνουν απολυτες σταθερες (οχι απαραιτητα τις ιδιες καθε φορα).
Θα θεωρησω ως δεδομενο οτι
.
Τοτε εχουμε οτι
.
Εστω . Εστω οτι ειναι ολοι οι πρωτοι στο διαστημα . Τοτε θα εχουμε οτι
.
Οντως, αν γραψουμε , οπου ο εχει το μικροτερο πρωτο διαιρετη απο ολα τα στοιχεια του , ο εχει το δευτερο μικροτερο πρωτο διαιρετη και ουτω καθ'εξης, τοτε θα εχουμε οτι , καθως οι αριθμοι ειναι αμοιβαια πρωτοι και συνθετοι αριθμοι.
Επομενως, η (2) συνεπαγεται οτι
καθως απο την (1).
Αρα
Η παραπανω ανισοτητα συνεπαγεται οτι
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από partalopoulo — 15 Φεβρουαρίου, 2010 @ 2:01 πμ
Η λύση σου είναι σωστή.
Υπάρχει όμως και μια στοιχειώδης απόδειξη που αποφεύγει την επίκληση του θεωρήματος πυκνότητας των πρώτων αριθμών. Μπορεί να βασιστεί στην ειδική περίπτωση του θεωρήματος αναδιάταξης που αναφέρεται στην υπόδειξη του προβλήματος «Ανισότητα Αναδιάταξης«.
Αναδιατάξτε τους σε αύξουσα σειρά: . Δεν είναι δύσκολο να δείτε (γιατί;) ότι έχουμε . Επομένως, από την εν λόγω ανισότητα έχουμε
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Michalis Loulakis — 15 Φεβρουαρίου, 2010 @ 7:40 μμ