Προβλήματα Μαθηματικών

Ιανουαρίου 7, 2010

Κάλυψη με λωρίδες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 11:49 πμ

Ο μοναδιαίος δίσκος έχει καλυφθεί από λωρίδες. Κάθε λωρίδα έχει ένα πεπερασμένο πλάτος και άπειρο μήκος. Δείξτε ότι το άθροισμα όλων των πλατών των λωρίδων είναι τουλάχιστον 2.

Advertisements

8 Σχόλια »

  1. Έστω η μοναδιαία σφαίρα που έχει το ίδιο κέντρο με τον μοναδιαίο δίσκο (συνεπώς εμβαδόν επιφάνειας 4π). Έστω για κάθε λωρίδα, S η επιφάνεια της σφαίρας που προκύπτει αν προβάλλουμε τη λωρίδα πάνω στη σφαίρα (για να βοηθήσω λεκτικά στην οπτικοποίηση, η προβολή θα αποτελείται από ένα κομμάτι «πάνω» και ένα «κάτω» με ίσα εμβαδά). Δεν είναι δύσκολο να δείξει κάποιος οτι το εμβαδόν της προβολής της i λωρίδας είναι 2πw_i, όπου w_i το πλάτος της.
    Δεδομένου οτι καλύπτεται ο μοναδιαίος δίσκος θα καλύπτεται και η μοναδιαία σφαίρα.
    Άρα 2\pi \sum_{i=1}^n w_i \geq 4\pi \rightarrow \sum_{i=1}^n w_i \geq 2.
    Το όριο λοιπόν ίναι εφικτό λοιπόν όταν έχουμε κόψει το δίσκο με τέτοιο τρόπο ώστε να επικαλύπτεται και το άθροισμα των πλατών να ναι ίσο με τη διάμετρο (ένα σχήμα θα βοηθούσε, ελπίζω να είναι φανερό πως πρέπει να κοπεί), ή ισοδύναμα οι προβολές των λωρίδων πάνω στη σφαίρα να την καλύπτουν χωρίς να υπάρχει αλληλεπικάλυψη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charalampos Tsourakakis — Ιανουαρίου 14, 2010 @ 10:05 μμ

  2. Πολύ σωστά.

    Το κλειδί σε αυτή την απόδειξη είναι ακριβώς ότι η ορθογώνια προβολή της λωρίδας πάνω στη σφαίρα, όπως λες, έχει επιφανειακό εμβαδό που δεν εξαρτάται από το πού είναι η λωρίδα μέσα στο δίσκο αλλά μόνο από το πλάτος της.

    Το γιατί ισχύει αυτό φαίνεται όταν γράψουμε κάτω τον τύπο που δίνει το εμβαδό πάνω στη σφαίρα αυτής της προβολής χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η προβολή της λωρίδας πάνω στη σφαίρα είναι επιφάνεια που προκύπτει εκ περιστροφής του τόξου που ορίζει η λωρίδα πάνω στον μοναδιαίο κύκλο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 14, 2010 @ 10:47 μμ

  3. Υποθετω οτι «λωριδα» = ορθογωνιο παραλληλογραμμο. Δεν εχω καταλαβει σε τι χρησιμευει το «απειρο μηκος» των λωριδων.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από siskakis — Ιανουαρίου 17, 2010 @ 12:19 μμ

  4. Η λωρίδα είναι το χωρίο ανάμεσα σε δύο παράλληλες ευθείες.

    Δεν περιορίζουμε το μήκος της (α) για να μην έχουμε να σκεφτόμαστε την περίπτωση που αυτη «κόβεται» μέσα στο δίσκο και, κυρίως, (β) γιατί αλλιώς θα πρέπει να πούμε ποια απο τις δύο διαστάσεις του ορθογωνίου είναι το πλάτος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 17, 2010 @ 12:49 μμ

  5. Κατι μου διαφευγει. Αφου το συνολικο «πλατος» του δισκου ειναι 2 (το μηκος μιας διαμετρου) δεν ειναι προφανες οτι:

    1) Αν η καλυψη γινεται χωρις overlapping τοτε το συνολικο πλατος των λωριδων ειναι ακριβως 2, και
    2) Αν υπαρχει μη τετριμμενο overlapping τοτε το συνολικο πλατος των λωριδων ειναι >2 ?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από siskakis — Ιανουαρίου 17, 2010 @ 2:36 μμ

  6. (Συνεχεια του προηγουμενου) Προφανως μου διεφυγε οτι οι λωριδες δεν ειναι κατ αναγκη παραλληλες μεταξυ τους.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από siskakis — Ιανουαρίου 17, 2010 @ 3:07 μμ

  7. Ναι, υπό μία έννοια η άσκηση ζητάει να αποδειχθεί κάτι που μοιάζει διασθητικά φανερό: ότι ο «καλύτερος» τρόπος να καλυψουμε το δίσκο είναι με παράλληλες μεταξύ τους λωρίδες.

    Η πιο απλή απόδειξη που ξέρω όμως είναι αυτή που δόθηκε παραπάνω.

    Παρεπιπτόντως, το πρόβλημα οφείλεται στον Tarski (Tarski’s plank problem), τον οποίο συνήθως αυτόματα συσχετίζουμε με μαθηματική λογική και όχι με προβλήματα γεωμετρίας, και έχει δημιουργήσει μια μεγάλη σειρά αποτελεσμάτων στα μαθηματικά, με γενικεύεσεις και εξειδικεύσεις (ψάξτε το στο web).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 17, 2010 @ 5:16 μμ

  8. Η ιδέα του να ξεφύγεις από τη διάσταση στην οποία δίνεται το πρόβλημα μπορεί να το απλοποιήσει σημαντικά όπως εδώ. Το πρόβλημα το οποίο μου θύμησε η παραπάνω εκφώνηση και συνέστησε τη χρησιμοποίηση αυτού του «τρικ», έχει να κάνει με την αναπάρασταση (embedding) επίπεδων γράφων (planar graphs) πάνω στη σφαίρα, εκεί όμως μέσω στερεογραφικών προβολών (αφού πρώτα εφαρμοστεί ένα άλλο θεώρημα γνωστό και ως kissing disk embedding theorem).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charalampos Tsourakakis — Ιανουαρίου 17, 2010 @ 11:31 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: