Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 29, 2009

Σε κάθε κατεύθυνση

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:27 πμ

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τη Λίλιαν.

Μπορείτε να κατασκευάσετε μια συνάρτηση f:\mathbb R^2\to\mathbb R τέτοια ώστε:

1. Το όριο τής f καθώς πλησιάζουμε τον x-άξονα κατά μήκος οποιασδήποτε κάθετης ευθείας είναι 0.
2. Το όριο τής f καθώς πλησιάζουμε τον x-άξονα κατά μήκος οποιασδήποτε άλλης ευθείας δεν υπάρχει.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. (Όλα τα όρια εννοούνται για y τείνει στο 0)

    Καταρχήν για κάθε k φυσικό θεωρούμε τα σύνολα S_k που αποτελούνται από τα σημεία \frac{1+2n}{2^k} . Ορίζω την f να είναι στις ευθείες x = c , με c \in S_k ίση με $latex $1 για |y| > \frac{1}{2^{k^2}} και 0 για τα υπόλοιπα y. Σε όλα τα υπόλοιπα σημεία f(x,y) = 0. Προφανώς κατά μήκος οποιασδήποτε κάθετης ευθείας το όριο είναι 0 ενώ κατά μήκος οποιασδήποτε άλλης ευθείας υπάρχει υπακολουθία που πηγαίνει στο 0f είναι σχεδόν παντού μηδενική). Θα δείξω ότι μπορώ να βρω υπακολουθία κατά μήκος της y = ax + b που να πηγαίνει στο 1 (άρα δεν υπάρχει το όριο κατά μήκος της ευθείας.). Έστω x_0 που τέμνει η ευθεία των άξονα των x και χ.π.γ. a >0. Από την εκλογή τους τα στοιχεία των S_k απέχουν \frac{1}{2^{k-1}} . Επιλέγω από κάθε S_k ένα στοιχείο x_k στα δεξιά του x_0 με \frac 1{2^{k-1}}\le x_k-x_0\le\frac 1{2^{k-2}}. Η ευθεία x= x_k τέμνει την y = ax+b πιο ψηλά από την y = \frac{a}{2^{k-1}} . Αυτό σημαίνει ότι για μεγάλες τιμές του k το στο σημείο τομής η f θα ισούται με 1. Όμως η εν λόγω ακολουθία τείνει στο x_0 άρα η f δεν μπορεί να έχει όριο κατά μήκος μιας μη κάθετης ευθείας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από shortmanikos — Σεπτεμβρίου 26, 2012 @ 6:47 μμ

  2. Σωστά

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Σεπτεμβρίου 26, 2012 @ 8:15 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: