Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 27, 2009

Αριθμοί Liouville II

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 3:50 μμ

Δείξτε παρόλα αυτά ότι κανένας άρρητος αλγεβρικός αριθμός (που είναι δηλαδή ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές) ΔΕΝ είναι αριθμός Liouville.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Έστω z ένας άρρητος αλγεβρικός αριθμός. O z είναι ρίζα ενός πολυωνύμου f(z) βαθμού n με ακέραιους συντελεστές. Έστω M ένας θετικός ακέραιος τ.ω. |f'(x)|<=M, όταν |z-x|<=1. Από το Θ. Μέσης Τιμής έχουμε: |f(x)|=|f(z)-f(x)|<=M|z-x|, όταν |z-x|>0, έχω ότι: 1) Αν |z-p/q|>1 προφανώς |z-p/q|>1/Μ(q^n). 2) Aν |z-p/q|<=1, τότε και πάλι επειδή |f(x)|<=M|z-x| έχουμε ότι |f(p/q)|<=M|z-p/q| και επομένως |(q^n)f(p/q)|<=M(q^n)|z-p/q|. Τώρα έχουμε ότι το f(p/q) δεν μπορεί να είναι μηδέν και επίσης ότι ο (q^n)f(p/q) είναι ακέραιος, άρα τελικά |z-p/q|>=1/M(q^n) [*]. Έστω τώρα ότι ο z είναι αριθμός Liouville. Επιλέγω έναν ακέραιο r τ.ω. 2^r>=(2^n)M. Σύμφωνα με τον ορισμό ότι |z-p/q|<1/q^r [**] άρα από * και ** έχουμε 1/q^r>1/M(q^n) και έτσι Μ>q^(r-n)>=2^(r-n)>=M, μια καθαρή αντίφαση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από yannisanag — Νοέμβριος 27, 2009 @ 9:36 μμ

  2. Στην πρώτη σειρά εννοώ f(x)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από yannisanag — Νοέμβριος 27, 2009 @ 9:38 μμ

  3. Σωστά.

    Χρειάζεται μόνο να αναφέρουμε ότι το f είναι ανάγωγο ώστε να εξασφαλίσουμε ότι f(\frac{p}{q})>0.

    Μπορείτε μετά από αυτό να λύσετε το πρόβλημα «Καλύπτεται;»

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Νοέμβριος 27, 2009 @ 11:10 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: