Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 24, 2009

Αριθμοί Liouville

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 11:53 μμ

Ένας άρρητος αριθμός x λέγεται αριθμός Liouville αν έχει την ιδιότητα ότι για κάθε φυσικό n υπάρχει ένας ακέραιος p και ένας φυσικός q>1 έτσι ώστε \displaystyle\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^n}.
Δείξτε ότι κάθε διάστημα περιέχει αριθμούς Liouville.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Καλησπέρα και συγχαρητήρια για το blog. Έστω Ε το σύνολο των αριθμών Liouville. Από τον ορισμό είναι άμεσο ότι E=Q^{c}\cap\bigcap_{n=1}^{\infty}G_{n} όπου Q οι ρητοί και G_{n}=\bigcup_{q=2}^{\infty}\bigcup_{p=-\infty}^{\infty}(\dfrac{p}{q}-\dfrac{1}{q^{n}},\dfrac{p}{q}+\dfrac{1}{q^{n}}). Το G_{n} είναι μια ένωση ενοικτών διαστημάτων και επιπλέον περιέχοντας κάθε αριθμό της μορφής p/q με q μεγαλύτερο ή ίσο του 2, περιέχει τους ρητούς και έτσι είναι πυκνό. Εύκολα φαίνεται ότι το συμπλήρωμα του Ε είναι πρώτης κατηγορίας άρα από Θ. Baire …

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από yannisanag — Νοέμβριος 26, 2009 @ 8:22 μμ

  2. Σωστά. Το E είναι αριθμήσιμη τομή ανοιχτών και πυκνών υποσυνόλων τού \mathbb R, άρα από το θεώρημα τού Baire είναι πυκνό.
    Αυτού τού είδους τα επιχειρήματα δείχνουν ότι αντικείμενα με κάποια ιδιότητα υπάρχουν, και μάλιστα είναι «τυπικά», χωρίς να χρειάζεται να κατασκευάσουμε έστω και ένα. Παρεμπιπτόντως, παράδειγμα ενός αριθμού Liouville είναι \sum_{n=1}^\infty\frac1{10^{n!}}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Νοέμβριος 27, 2009 @ 1:29 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: