Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 18, 2009

Χωριστά συνεχής

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 1:32 πμ

Έστω f:\mathbb R^2\to\mathbb R μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε κάθε μεταβλητή. Δηλαδή για κάθε σταθεροποιημένο x, η f(x,y) είναι συνεχής σαν συνάρτηση τού y, και ανάλογα για κάθε σταθεροποιημένο y η f(x,y) είναι συνεχής σαν συνάρτηση τού x. Δεν είναι αλήθεια ότι μια τέτοια f είναι συνεχής σαν συνάρτηση και των δύο μεταβλητών. Παράδειγμα

\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2},\ &(x,y)\ne(0,0)\\ 0,\  &(x,y)=(0,0)\end{cases}.

Δείξτε παρ’ όλα αυτά ότι μια τέτοια συνάρτηση έχει πάντα τουλάχιστο ένα σημείο συνέχειας.

Advertisements

16 Σχόλια »

  1. I type in english, sorry.
    Ok, i guess for the above function in two variables to be continuous in at least one point, we need to verify that the limit in that point exists. At (0,0), the function is not continuous but the limit at (0,0) exists and is equal to zero. Since we have defined the function to be zero at the point i.e. at (0,0), we have also removed the discontinuity at that point and the function is continuous at (0,0).
    Is that right?
    Thanks a lot!
    Christos.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από christosmix — Νοέμβριος 24, 2009 @ 5:49 πμ

  2. Όχι, το όριο δεν υπάρχει. Κατά μήκος τής y=0 το όριο τής f είναι μηδέν. Κατά μήκος τής x=y είναι 1/2.
    Επίσης, το πρόβλημα δεν αναφέρεται στην συγκεκριμένη συνάρτηση, αλλά σε οποιαδήποτε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε κάθε μεταβλητή χωριστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Νοέμβριος 24, 2009 @ 1:59 μμ

  3. Ok, one more effort.
    Now, when X is a Baire space and Y a complete Hausdorff space, if f:XxY->R is separately continuous there is at least one point of joint continuity of f under some conditions that follow.
    We need to recall the so-called Namioka property for a topological space. This goes as follows: A topological space has the Namioka property if for every compact Hausdorff space and every separately continuous function f:XxY->R, there exists a dense G_d-subset G of X such that f is jointly continuous at each point of GxY.
    Similarly, a compact Hausdorff space Y has the co-Namioka property if for every Baire space X and every separately continuous function f:XxY->R, there exists a dense G_d-subset G of X such that f is jointly continuous at each point of GxY.

    Some further comments: Every Namioka space is Baire (the converse is not always true).
    Every separable Baire space is Namioka.
    Of course a Baire space is a topological space where the union of any countable collection of closed sets with empty interion, has empty interior (or equivalently, the intersection of countably many dense open sets is dense).
    Waiting for your comments. Thanks.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από christosmix — Δεκέμβριος 1, 2009 @ 7:24 πμ

  4. Αυτό δυστυχώς δεν μπορεί να θεωρηθεί απόδειξη. Είναι στην πραγματικότητα αναδιατύπωση τού προβλήματος σε πολύ πιο αφηρημένη γλώσσα. Φαντάσου να σου ζητηθεί να αποδείξεις ότι, στο \mathbb R, κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει και εσύ να απαντήσεις «αυτό ισχύει διότι το \mathbb R είναι πλήρης χώρος». Προσπάθησε να βρεις μια απ’ ευθείας απόδειξη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 1, 2009 @ 1:00 μμ

  5. Ok professor. Here is a simple proof.
    Suppose we have sets A subset of R^n, B subset of R^m and a function f:AxB->R^p. Let’s assume f is separately continuous i.e. f(x_0,y) and f(x,y_0) are continuous of y and x with x_0 and y_0 fixed respectively. I will also assume that f is uniformly continuous on A with respect to B. Now the proof that f is continuous on AxB.
    Take e>0 and suppose (x_0,y_0) is the point we would like f to be jointly continuous on AxB. Since f is uniformly continuous on A with respect to B, there exists d_1>0 such that
    when ||x_0-x||<d_1 we have ||f(x,y)-f(x_0,y)||0 such that
    when ||y-y_0||<d_2, we have ||f(x_0,y)-f(x_0,y_0)||<e/2.
    Therefore for ||(x_0,y_0)-(x,y)||<d for d=min{d_1,d_2}, we get
    ||f(x,y)-f(x_0,y_0)||=||f(x,y)-f(x_0,y)+f(x_0,y)-f(x_0,y_0)||
    <=||f(x,y)-f(x_0,y)||+||f(x_0,y)-f(x_0,y_0)||<e,
    where the triangle inequality is used.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από christosmix — Δεκέμβριος 2, 2009 @ 8:27 πμ

  6. Ναι, αλλά τώρα έχεις κάνει μια extra υπόθεση η οποία είναι ισχυρότερη από αυτό που θέλεις να δείξεις…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 2, 2009 @ 12:21 μμ

  7. To be honest, i can figure out a proof under the condition of monotonicity of a function in x (only) using simple calculus.
    I think that the problem of joint continuity of separately continuous functions is still open and there are results that retrict the spaces under consideration (topological results mainly). There is a well known open problem stated by Talagrand if i am correct for separately continuous functions. Anyway…
    If you give me some further directions, i can try more when i have time.
    Thanks Professor!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από christosmix — Δεκέμβριος 8, 2009 @ 8:48 πμ

  8. Η υπόδειξη είναι το θεώρημα τού Baire.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 8, 2009 @ 4:02 μμ

  9. Υπάρχει ορισμός για την ταλάντωση (oscillation) συνάρτησης
    ορισμένης στο \mathbb{R}^2 ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Δεκέμβριος 7, 2010 @ 6:05 μμ

  10. Νομίζω πως η έννοια της ταλάντωσης έχει γενικότερα νόημα σε μετρικούς χώρους,
    άρα και στο \mathbb{R}^2.
    Δοθείσης συνάρτησης f(\cdot) ορισμένης στο \mathbb{R}^2 ορίζουμε
    την ταλάντωση της f(\cdot) στο A\subset \mathbb{R}^2 μέσω της σχέσης
    osc_{f}(A):= \sup_{w,w^{\prime}\in A}  |f(w)-f(w^{\prime})|,
    και για κάθε w \in \mathbb{R}^2
    την ταλάντωση της f(\cdot) στο w ώς
    osc_{f}(w):= \inf_{\epsilon >0} osc_{f}(B(w,\epsilon)).
    Δεν είναι και πολύ δύσκολο να δει κανείς ότι η συνάρτηση είναι συνεχής
    σε ένα σημείο αν και μόνον αν η ταλάντωση ειναι μηδεν στο σημειο αυτό.
    Επίσης, αν osc_{f}(w_0) < \epsilon τότε osc_{f}(w)<\epsilon
    για w που βρίσκεται σε κατάλληλα μικρή περιοχή του w_0.
    Αυτό σημαίνει πως το σύνολο \{w: osc_{f}(w)<\epsilon\} είναι ανοικτό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Δεκέμβριος 8, 2010 @ 2:04 πμ

  11. Έστω ότι η συνάρτηση της υπόθεσης είναι ασυνεχής παντού.
    Τότε \mathbb{R}^2 = \bigcup_{m=1}^{\infty} \{ w: osc_{f}(w) \geq 1/m \}
    και το Θεώρημα του Baire μας λέει ότι υπάρχει m \geq 1 τέτοιο ώστε
    το σύνολο \{w: osc_{f}(w)\geq 1/m \} να περιέχει ανοικτή μπάλα κέντρου z και ακτίνας r_0.
    Δηλαδή, για κάθε v \in B(z,r_0) και κάθε δ>0 ισχύει
    \sup \{ |f(x,y)-f(x^{\prime},y^{\prime}): (x,y) , (x^{\prime},y^{\prime}) \in B(v,\delta) \} \geq 1/m.
    Από τη συνέχεια της f(\cdot) ως προς κάθε μια μεταβλητή έχουμε ότι υπάρχουν
    \delta_1 , \delta_2 τέτοια ώστε αν |x-x^{\prime}| < \delta_1 τότε |f(x,y)-f(x^{\prime},y)|< 1/2m
    και αν |y-y^{\prime}| < \delta_2 τότε |f(x,y)-f(x,y^{\prime}|< 1/2m.
    Έστω \delta_0 := \frac{1}{2} \min \{\delta_1, \delta_2, r_0 \} και a=(x,y) , b= (x^{\prime},y^{\prime}) \in B(z,\delta_0).
    Τότε |f(x,y) - f(x^{\prime},y^{\prime})| \leq ||f(x,y) -  f(x^{\prime,y}) | + | f(x^{\prime},y) f(x^{\prime},y^{\prime})| < 1/m
    και άρα \sup\{ |f(a) - f(b)| : a,b \in B(z,\delta_0) < 1/m$. Άτοπο !

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Δεκέμβριος 8, 2010 @ 2:06 πμ

  12. Το \delta_1 φαίνεται να εξαρτάται από το y. Ομοίως το \delta_2 από το x.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 8, 2010 @ 10:00 πμ

  13. Για να’μαι ειλικρινής, δε καταλαβαίνω τι εννοείτε.
    To \delta_1 εξαρτάται από τα x , x^{\prime}
    και όχι από το y.
    Η f(\cdot , y) είναι συνεχής ως προς την πρώτη μεταβλητή.
    Οπότε μπορούμε να βρούμε ένα \delta_1 ώστε αν |x-x^{\prime}|<\delta_1
    τότε |f(x,y) - f(x^{\prime},y)| < 1/(2m), για κάθε y.
    Ομοίως για το \delta_2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Δεκέμβριος 8, 2010 @ 11:29 πμ

  14. Εξαρτάται και από το y. Για κάθε y παίρνεις και μια άλλη συνάρτηση f(\cdot,y).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 8, 2010 @ 12:14 μμ

  15. Σε ποιο θεώρημα του Baire αναφέρεται η υπόδειξη;
    Το θεώρημα κατηγορίας ή το θεώρημα για Baire-1 συναρτήσεις;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Ιανουαρίου 25, 2011 @ 12:31 πμ

  16. Είναι το θεώρημα κατηγορίας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Ιανουαρίου 25, 2011 @ 1:50 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: