Ας είναι ένας πεπερασμένος μετρικός χώρος. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε δύο σημεία έχει οριστεί μια θετική «απόσταση» ανάμεσά τους, και οι αποστάσεις αυτές πληρούν την τριγωνική ανισότητα
, για κάθε .
Κατασκευάστε μια 1-1 συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει
όπου , για .
Αρκεί να ορίσουμε f(x)=(d(x,x_1),\ldots , d(x,x_n))
Από την τριγωνική ανισότητα προκύπτει άμεσα ότι η συνάρτηση πληροί το ζητούμενο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από alexandrosg — 13 Δεκεμβρίου, 2009 @ 11:54 μμ
Πολύ σωστά.
Μπορείτε να κάνετε το ίδιο στον αντί για τον ;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 15 Δεκεμβρίου, 2009 @ 12:14 πμ
Μπορούμε να ορίσουμε $ f(x)=(d(x,x_2),\ldots , d(x,x_n))$ (η φυσικά να ορίσουμε να παραλείπεται η απόσταση προς κάποιο άλλο από τα στοιχεία του συνόλου).
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από alexandrosg — 16 Δεκεμβρίου, 2009 @ 3:08 μμ
Πολύ σωστά.
Μπορεί κανείς να δείξει ένα τέτοιο θέωρημα αν η μετρική στην εικόνα είναι η και όχι η ;
Υπάρχει δηλ. 1-1 απεικόνιση , με ενδεχομένως πολύ μεγαλύτερο από το , ώστε να ισχύει ;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 17 Δεκεμβρίου, 2009 @ 4:33 μμ