Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 13, 2009

Πεπερασμένοι μετρικοί χώροι

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 2:41 μμ

Ας είναι X=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\} ένας πεπερασμένος μετρικός χώρος. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε δύο σημεία x,y \in X έχει οριστεί μια θετική «απόσταση» d(x,y) ανάμεσά τους, και οι αποστάσεις αυτές πληρούν την τριγωνική ανισότητα

d(x, y) \le d(x, z) + d(z,y), για κάθε x, y, z \in X.

Κατασκευάστε μια 1-1 συνάρτηση X \to {\mathbb R}^n τέτοια ώστε για κάθε x,y \in X να ισχύει

d(x, y) = \|f(x)-f(y)\|_\infty

όπου \|u\|_\infty = \max_{k=1,\ldots,n}|u_k|, για u \in {\mathbb R}^n.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Αρκεί να ορίσουμε f(x)=(d(x,x_1),\ldots , d(x,x_n))
    Από την τριγωνική ανισότητα προκύπτει άμεσα ότι η συνάρτηση πληροί το ζητούμενο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosg — Δεκέμβριος 13, 2009 @ 11:54 μμ

  2. Πολύ σωστά.

    Μπορείτε να κάνετε το ίδιο στον {\mathbb R}^{n-1} αντί για τον {\mathbb R}^n;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 15, 2009 @ 12:14 πμ

  3. Μπορούμε να ορίσουμε $ f(x)=(d(x,x_2),\ldots , d(x,x_n))$ (η φυσικά να ορίσουμε να παραλείπεται η απόσταση προς κάποιο άλλο από τα στοιχεία του συνόλου).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosg — Δεκέμβριος 16, 2009 @ 3:08 μμ

  4. Πολύ σωστά.

    Μπορεί κανείς να δείξει ένα τέτοιο θέωρημα αν η μετρική στην εικόνα είναι η \ell^2 και όχι η \ell^\infty;

    Υπάρχει δηλ. 1-1 απεικόνιση g:X\to {\mathbb R}^m, με m ενδεχομένως πολύ μεγαλύτερο από το n =|X|, ώστε να ισχύει d(x,y) = \|g(x)-g(y)\|_2,\ \forall x, y \in X;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 17, 2009 @ 4:33 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: