Είναι εύκολο να δει κανείς (γιατί;) ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο σε μια μεταβλητή με πραγματικούς συντελεστές είναι μη αρνητικό για κάθε γράφεται αναγκαστικά σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων
, με .
Άρα το να γράφεται ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής σα άθροισμα τετραγώνων είναι ισοδύναμο με το να είναι πάντα μη αρνητικό.
Έστω . Δείξτε ότι το είναι πάντα μη αρνητικό αλλά δε μπορεί να γραφεί σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων σε . Άρα η παραπάνω ισοδυναμία δεν ισχύει παρά μόνο για πολυώνυμα μιας μεταβλητής.
Η συναρτηση ειναι θετικη εαν και μονο εαν για καθε ζευγαρι απο τα οποια ειναι μη μηδενικα. Ισοδυναμα για καθε ισχυει: . Αλλα χρησιμοποιωντας την ανισωση αριθμητικου-γεωμετρικου μεσου. Αρα η συναρτηση μας ειναι μη αρνητικη. Παραμενει ο ισχυρισμος με τα πολυωνυμα.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από nikos3223 — 27 Νοεμβρίου, 2009 @ 9:23 μμ
Μέχρι εδώ πολύ καλά.
Υποθέστε ότι γράφεται σαν άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων και καταλήξετε σε άτοπο. Πείτε επίσης γιατί ισχύει στη μια μεταβλητή ότι γράφεται σαν άθροισμα τετραγώνων.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 27 Νοεμβρίου, 2009 @ 10:33 μμ
Υποδειξη: Όσον αφορά τα πολυώνυμα μιας μεταβλητής, κοιτάξτε τις ρίζες τους στο μιγαδικό επίπεδο και ομαδοποιείστε τις κατάλληλα.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 27 Ιανουαρίου, 2010 @ 9:12 πμ
Για το πρώτο ερώτημα:
Αν και τότε
Έστω με .Από το μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι μονικό.
Έστω η ανάλυση του σε γινόμενο αναγωγων πολυωνύμων επί του . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
1)
Σε αυτή τη περίπτωση ( )
αρκεί να παρατηρήσουμε ότι αν το είναι ανάγωγο επί του τότε
οπότε το αποτέλεσμα έπεται από το .
2)
Σε αυτή τη περίπτωση () θα δείξουμε ότι οι είναι άρτιοι. Αν υποθέσουμε ότι κάποιος ήταν περιττός τότε το πολυώνυμο θα ήταν θετικό στο και αρνητικό στο άρα θα είχε ρίζα το . Άτοπο.
Από το () και τα 1) και 2) παίρνουμε το αποτέλεσμα.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Pambos — 16 Μαρτίου, 2012 @ 3:47 μμ
Έχω κάποια τυπογραφικά.
Στη περίπτωση 1) το ριζικό πρέπει να είναι
και η περίπτωση 2) είναι άρα
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Pambos — 16 Μαρτίου, 2012 @ 4:15 μμ
Σωστά, αν και στην περίπτωση που αναφέρεις παραπάνω πρέπει να πεις ότι στην περίπτωση που ο εκθέτης ενός παράγοντα είναι περιττός τότε αλλάζει πρόσημο στην γειτονιά της ρίζας του ενώ (για κατάλληλα μικρή γειτονιά) κανείς άλλος από τους παράγοντες δεν αλλάζει πρόσημα, άρα υπάρχει αντίφαση.
Υπάρχει και μια κάπως πιο κομψή λύση αν κανείς κάνει την παρατήρηση ότι σε κάθε πραγματικό πολυώνυμο οι μιγαδικές του ρίζες που δεν είναι πραγματικοί αριθμοί είναι πάντα ζευγαρωμένες: αν είναι ρίζα τότε και είναι ρίζα.
Τι γίνεται στις δύο μεταβλητές;
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 16 Μαρτίου, 2012 @ 6:08 μμ
Πράγματι είναι λάθος αυτό που έγραψα στη περίπτωση 2. Το σωστό είναι
«Αν υποθέσουμε ότι κάποιος ήταν περιττός τότε το πολυώνυμο θα ήταν θετικό στο και αρνητικό στο για κατάλληλο μικρό άρα θα είχε ρίζα το . Άτοπο.»
Τώρα για το πολυώνυμο υποθέτουμε για άτοπο ότι .
Αφού έπεται ότι με και .
Τώρα επειδή και από την παίρνουμε .
Τέλος για παίρνουμε .
Τα πολυώνυμα μιας μεταβλητής θα έχουν βαθμό και θα έχουν για ρίζες τους άρα τα πολυώνυμα θα έχουν βαθμό και . Άτοπο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Pambos — 16 Μαρτίου, 2012 @ 11:02 μμ
?
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Pambos — 1 Απριλίου, 2012 @ 2:07 μμ
Sorry, έχω μείνει λίγο πίσω. Θα γράψω σύντομα.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 1 Απριλίου, 2012 @ 6:20 μμ
Νομίζω η παραγοντοποίησή σου είναι λάθος: εδώ
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 3 Απριλίου, 2012 @ 11:06 πμ
Σωστά η παραγοντοποίησή μου είναι λάθος. Η σωστή παραγοντοποίηση είναι
.
Η λύση όμως νομίζω σώζεται αν αλλάξουμε τη τελευταία παράγραφο σε:
Τα πολυώνυμα μιας μεταβλητής θα έχουν βαθμό και θα έχουν για ρίζες τους άρα τα πολυώνυμα θα έχουν βαθμό και . Άτοπο.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Pambos — 3 Απριλίου, 2012 @ 3:24 μμ
Σωστό.
Αλλά πρέπει να τονιστεί εδώ ότι τα είναι πραγματικοί αριθμοί όταν είναι πραγματικός ή φανταστικός αριθμός, όπως προκύπτει από τη σχέση που έχεις πιο πάνω. Άρα το είναι άθροισμα τετραγώνων πραγματικών αριθμών και άρα οι ρίζες του είναι και ρίζες κάθε τετραγώνου χωριστά.
Μου αρέσει!Μου αρέσει!
Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — 4 Απριλίου, 2012 @ 7:12 πμ