Προβλήματα Μαθηματικών

Νοεμβρίου 11, 2009

Μη αρνητικά πολυώνυμα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 10:45 πμ

Είναι εύκολο να δει κανείς (γιατί;) ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο σε μια μεταβλητή με πραγματικούς συντελεστές f(x) \in {\mathbb R}[x] είναι μη αρνητικό για κάθε x \in {\mathbb R} γράφεται αναγκαστικά σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων

f(x) = \sum_{j=1}^N (p_j(x))^2, με p_j(x) \in {\mathbb R}[x].

Άρα το να γράφεται ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής σα άθροισμα τετραγώνων είναι ισοδύναμο με το να είναι πάντα μη αρνητικό.

Έστω F(x,y) = x^2y^2(x^2+y^2-3)+1. Δείξτε ότι το F(x, y) είναι πάντα μη αρνητικό αλλά δε μπορεί να γραφεί σα άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων σε x, y. Άρα η παραπάνω ισοδυναμία δεν ισχύει παρά μόνο για πολυώνυμα μιας μεταβλητής.

Advertisements

12 σχόλια »

  1. Η συναρτηση F(x,y)=x^{2}y^{2}(x^2+y^2-3)+1 ειναι θετικη εαν και μονο εαν x^{2}+y^{2}-3+\frac1{x^{2}y^{2}}\geq 0 για καθε ζευγαρι απο (x,y) τα οποια ειναι μη μηδενικα. Ισοδυναμα για καθε a,b>0 ισχυει: a+b+\frac1{ab}\geq 3. Αλλα a+b+\frac1{ab}=3(\frac{a+b+\frac1{ab}}{3})\geq 3\sqrt[3]{ab\frac1{ab}}=3 χρησιμοποιωντας την ανισωση αριθμητικου-γεωμετρικου μεσου. Αρα η συναρτηση μας ειναι μη αρνητικη. Παραμενει ο ισχυρισμος με τα πολυωνυμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Νοεμβρίου 27, 2009 @ 9:23 μμ

  2. Μέχρι εδώ πολύ καλά.

    Υποθέστε ότι γράφεται σαν άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων και καταλήξετε σε άτοπο. Πείτε επίσης γιατί ισχύει στη μια μεταβλητή ότι γράφεται σαν άθροισμα τετραγώνων.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Νοεμβρίου 27, 2009 @ 10:33 μμ

  3. Υποδειξη: Όσον αφορά τα πολυώνυμα μιας μεταβλητής, κοιτάξτε τις ρίζες τους στο μιγαδικό επίπεδο και ομαδοποιείστε τις κατάλληλα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 27, 2010 @ 9:12 πμ

  4. Για το πρώτο ερώτημα:

    Αν h(x)=\sum_{i=1}^Np_i^2(x) και g(x)=\sum_{j=1}^Kq_j^2(x) τότε \displaystyle{f(x)g(x)=\sum_{i=1,\ldots ,N,j=1,\ldots ,K} (p_i(x)q_j(x))^2 } \;\;\;\;\;\;\; (\star)

    Έστω f(x)\in \mathbb{R}[x] με f(x)\geq 0\;\; \forall x \in \mathbb{R} .Από το (\star) μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι μονικό.

    Έστω f(x) = (x-\alpha_1)^{r_1}\cdots(x-\alpha_n)^{r_n}\cdot(x^2+a_1x+b_1)^{s_1}\cdots(x^2+a_kx+b_k)^{s_k} η ανάλυση του σε γινόμενο αναγωγων πολυωνύμων επί του \mathbb{R} . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

    1) n=0

    Σε αυτή τη περίπτωση (f(x) = (x^2+a_1x+b_1)^{s_1}\cdots(x^2+a_kx+b_k)^{s_k} )
    αρκεί να παρατηρήσουμε ότι αν το x^2+ax+b είναι ανάγωγο επί του \mathbb{R} τότε
    \displaystyle{x^2+ax+b=(x+\frac{a}{2})^2+(\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}})^2} οπότε το αποτέλεσμα έπεται από το (\star) .

    2)k=0

    Σε αυτή τη περίπτωση (f(x) = (x-\alpha_1)^{r_1}\cdots(x-\alpha_n) ) θα δείξουμε ότι οι r_i είναι άρτιοι. Αν υποθέσουμε ότι κάποιος r_i ήταν περιττός τότε το πολυώνυμο \frac{f(x)}{(x-\alpha_1)^{r_1}} θα ήταν θετικό στο (\alpha_i,+\infty) και αρνητικό στο (-\infty,\alpha_i) άρα θα είχε ρίζα το \alpha_i . Άτοπο.

    Από το (\star) και τα 1) και 2) παίρνουμε το αποτέλεσμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Μαρτίου 16, 2012 @ 3:47 μμ

  5. Έχω κάποια τυπογραφικά.

    Στη περίπτωση 1) το ριζικό πρέπει να είναι \displaystyle{(\sqrt{b-\frac{a^2}{4}})^2}
    και η περίπτωση 2) είναι k=0 άρα f(x) = (x-\alpha_1)^{r_1}\cdots(x-\alpha_n)^{r_n}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Μαρτίου 16, 2012 @ 4:15 μμ

  6. Σωστά, αν και στην περίπτωση k=0 που αναφέρεις παραπάνω πρέπει να πεις ότι στην περίπτωση που ο εκθέτης ενός παράγοντα είναι περιττός τότε αλλάζει πρόσημο στην γειτονιά της ρίζας του ενώ (για κατάλληλα μικρή γειτονιά) κανείς άλλος από τους παράγοντες δεν αλλάζει πρόσημα, άρα υπάρχει αντίφαση.

    Υπάρχει και μια κάπως πιο κομψή λύση αν κανείς κάνει την παρατήρηση ότι σε κάθε πραγματικό πολυώνυμο οι μιγαδικές του ρίζες που δεν είναι πραγματικοί αριθμοί είναι πάντα ζευγαρωμένες: αν z\in{\mathbb C} είναι ρίζα τότε και \overline{z} είναι ρίζα.

    Τι γίνεται στις δύο μεταβλητές;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαρτίου 16, 2012 @ 6:08 μμ

  7. Πράγματι είναι λάθος αυτό που έγραψα στη περίπτωση 2. Το σωστό είναι

    «Αν υποθέσουμε ότι κάποιος r_i ήταν περιττός τότε το πολυώνυμο \frac{f(x)}{(x-\alpha_i)^{r_i}} θα ήταν θετικό στο (\alpha_i,\delta) και αρνητικό στο (-\delta,\alpha_i) για κατάλληλο \delta μικρό άρα θα είχε ρίζα το \alpha_i . Άτοπο.»

    Τώρα για το πολυώνυμο f(x,y)=x^2y^2(x^2+y^2-3)+1 υποθέτουμε για άτοπο ότι f(x,y)=\sum(P_i^2(x,y)).
    Αφού f(0,0)=1 έπεται ότι P_i(x,y)=c_i+Q_i(x,y) με \sum c_i^2=1 και Q_i(0,0)=0\;\;\forall i.
    Τώρα επειδή f(x,0)=1\; \Rightarrow Q_i(x,y)=yH_i(x,y)\;\;\forall i και από την f(0,y)=1 παίρνουμε Q_i(x,y)=xyR_i(x,y).

    Τέλος για x=y παίρνουμε (x^2-1)^2(2x^2-1)=f(x,x)=\sum(c_i+x^2R_i(x,x))^2.
    Τα πολυώνυμα c_i+x^2R_i(x,x) μιας μεταβλητής θα έχουν βαθμό \leq 3 και θα έχουν για ρίζες τους \pm 1,\pm \frac{1}{\sqrt{2}} άρα τα πολυώνυμα R_i(x,x) θα έχουν βαθμό \leq 1 και R_i(1,1)=R_i(-1,-1)=-c_i,\;R_i(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=R_i(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})=-2c_i. Άτοπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Μαρτίου 16, 2012 @ 11:02 μμ

  8. ?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Απριλίου 1, 2012 @ 2:07 μμ

  9. Sorry, έχω μείνει λίγο πίσω. Θα γράψω σύντομα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απριλίου 1, 2012 @ 6:20 μμ

  10. Νομίζω η παραγοντοποίησή σου είναι λάθος: εδώ

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απριλίου 3, 2012 @ 11:06 πμ

  11. Σωστά η παραγοντοποίησή μου είναι λάθος. Η σωστή παραγοντοποίηση είναι

    f(x,x)= (x^2-1)^2(2x^2+1).

    Η λύση όμως νομίζω σώζεται αν αλλάξουμε τη τελευταία παράγραφο σε:
    Τα πολυώνυμα c_i+x^2R_i(x,x) μιας μεταβλητής θα έχουν βαθμό \leq 3 και θα έχουν για ρίζες τους \pm 1,\pm i\frac{1}{\sqrt{2}} άρα τα πολυώνυμα R_i(x,x) θα έχουν βαθμό \leq 1 και R_i(1,1)=R_i(-1,-1)=-c_i,\;R_i(i\frac{1}{\sqrt{2}},i\frac{1}{\sqrt{2}})=R_i(-i\frac{1}{\sqrt{2}},-i\frac{1}{\sqrt{2}})=2c_i. Άτοπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Pambos — Απριλίου 3, 2012 @ 3:24 μμ

  12. Σωστό.

    Αλλά πρέπει να τονιστεί εδώ ότι τα R_i(x,x) είναι πραγματικοί αριθμοί όταν x είναι πραγματικός ή φανταστικός αριθμός, όπως προκύπτει από τη σχέση Q_i(x,y) = xyR_i(x,y) που έχεις πιο πάνω. Άρα το f(x,x) είναι άθροισμα τετραγώνων πραγματικών αριθμών και άρα οι ρίζες του f(x,x) είναι και ρίζες κάθε τετραγώνου χωριστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απριλίου 4, 2012 @ 7:12 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: