Προβλήματα Μαθηματικών

Νοέμβριος 6, 2009

Οριακή κανονικότητα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Michalis Loulakis @ 9:46 μμ

Επιλέγουμε τυχαία ένα σημείο στην επιφάνεια της σφαίρας του \mathbb{R}^n με κέντρο το 0 και ακτίνα \sqrt{n}. Αν \mathbb{P}_n[a,b] είναι η πιθανότητα η πρώτη συντεταγμένη του σημείου να είναι στο διάστημα [a,b] δείξτε ότι

\displaystyle \mathbb{P}_n[a,b]\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\frac{u^2}{2}} du.

Advertisements

3 Σχόλια »

  1. Όριο; Πού;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nefelh — Νοέμβριος 7, 2009 @ 2:56 μμ

  2. Καθώς n\to\infty.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Νοέμβριος 7, 2009 @ 3:46 μμ

  3. Υπόδειξη

    Εφόσον το σημείο επιλέγεται ομοιόμορφα θα έχουμε

    \displaystyle \mathbb{P}_n[a,b]=\frac{E_n(a,b)}{\sigma_n}

    όπου \sigma_n είναι το συνολικό εμβαδό της επιφάνειας της σφαίρας,

    \displaystyle \sigma_n=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\big(\frac{n}{2}\big)} \times(\sqrt{n})^{n-1},

    και E_n(a,b) είναι το εμβαδό του χωρίου στην επιφάνεια που βρίσκεται στο εσωτερικό της λωρίδας a\le x_1\le b. Υπολογίστε τώρα αυτό το εμβαδό σαν ολοκλήρωμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Φεβρουαρίου 7, 2010 @ 9:29 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: