Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 27, 2009

Μέ όποια σειρά …

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:35 πμ

Ξεκινείστε με το σύνολο αριθμών \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{100}\} και σε κάθε βήμα επιλέξτε δύο αριθμούς από το σύνολό σας, έστω τους a, b, και αντικαταστείστε τους στο σύνολό σας με τον ένα αριθμό a+b+ab.

Δείξτε ότι με όποια σειρά και αν επιλέξετε να το κάνετε αυτό μετά από 99 βήματα θα σας έχει μείνει πάντα ο ίδιος αριθμός στο σύνολό σας.

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. Γεια σας,

    παρατηρουμε οτι αν παρουμε τρεις αριθμους τους x,y,z και κανουμε την
    ζητουμενη πραξη με οποιαδηποτε σειρα το αποτελεσμα ειναι το ιδιο λογω
    της ταυτοτητας:

    (x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=(x+z+xz)+y+(x+z+xz)y

    Οποτε το αποτελεσμα θα ειναι το ιδιο και για 100 τυχαιους αριθμους.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosr9 — Οκτώβριος 27, 2009 @ 2:48 πμ

  2. Σωστά. Η πράξη δηλ. που ορίζεται από τη σχέση a*b = a+b+ab είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική (αυτό το τελευταίο είναι προφανές). Ποιος είναι ο αριθμός στη δεδομένη περίπτωση;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 27, 2009 @ 10:10 πμ

  3. Αφού δεν μας νοιάζει η σειρά πρόσθεσης μπορούμε να επιλέξουμε όποια θέλουμε και μια που βολεύει ειναι να αντικαθιστούμε κάθε φορά τους δυο μεγαλύτερους. Ήτοι, 1*1/2 = 2, 2* 1/3 = 3, κ.ο.κ. Το αποτέλεσμα λοιπόν είναι ίσο με 100.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charalampos Tsourakakis — Οκτώβριος 29, 2009 @ 12:45 πμ

  4. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 29, 2009 @ 1:34 πμ

  5. Η λυση του Χαραλαμπου ειναι πολυ ωραια και γρηγορη,αλλα στελνω και εγω τη δικια μου
    μιας και εγινε συνεταιρικα με ενα φιλο μου:
    ψαχνοντας για λιγους αριθμους και οχι για 100 παρατηρουμε οτι η απαντηση ειναι
    το αθροισμα των αριθμων συν το αθροισμα των γινομενων τους ανα δυο συν το αθροισμα
    των γινομενων τους ανα τρια κ.ο.κ.
    Τωρα απο τους τυπους του Veita η παρασταση γινεται ως εξης
    (1+1)(1+1/2)…(1+1/100)-1=2*3/2*4/3*…*101/100-1=101-1=100

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosr9 — Οκτώβριος 29, 2009 @ 2:28 πμ

  6. Σωστό κι αυτό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Οκτώβριος 29, 2009 @ 7:15 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: