Προβλήματα Μαθηματικών

Οκτώβριος 9, 2009

Μπλε ή πράσινο;

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 12:18 πμ

Δίνουμε σε κάθε φυσικό αριθμό ένα χρώμα- μπλε ή πράσινο ως εξής: αρχικά όλοι οι αριθμοί είναι μπλε. Aλλάζουμε χρώμα στους αριθμούς της μορφής 2k+1. Στη συνέχεια αλλάζουμε χρώμα στους αριθμούς της μορφής 3k+2, έπειτα στους αριθμούς της μορφής 4k+3 κ.ο.κ. Ποιών αριθμών το χρώμα θα είναι τελικά μπλε;

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. Κάποιες διευκρινιστικές ερωτήσεις :
    Κάθε αριθμός αλλάζει μόνο μια φορά χρώμα (δηλ. απο μπλέ γίνεται πράσινος) ή σε κάθε βήμα ξαναλλάζει; Δηλ. μπλέ – πράσινος – μπλέ – πράσινος κ.ο.κ.;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Nikolas Karalis — Οκτώβριος 9, 2009 @ 1:31 μμ

  2. Ξαναλλάζει… π.χ. ο 19 αλλάζει από μπλε σε πράσινο όταν αλλάζουμε τους 2k+1, παραμένει πράσινος όταν αλλάζουμε τους 3k+2, αλλάζει πάλι σε μπλε με τους 4k+3, αλλάζει σε πράσινο με τους 5k+4 κ.ο.κ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Οκτώβριος 9, 2009 @ 6:53 μμ

  3. Δεδομένου οτι k=0,1,2,3,…

    Αν δεν κάνω λάθος,

    Οι αριθμοί που θα μείνουν μπλε είναι οι 3,8,15,24,35,48,63,80,99,120,143…
    Εν συντομία, ο t στη σειρά μπλε αριθμός είναι ο P(t) όπου P(t)=P(t-1)+2t+1, kai P(0)=0.
    Δηλ. P(1)=3, P(2)=8,…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από harris1976 — Οκτώβριος 9, 2009 @ 10:00 μμ

  4. Κάθε φυσικός n αλλάζει χρώμα για τελευταία φορά, στη n-οστή αλλαγή. Πρέπει λοιπόν να βρούμε για τυχαίο φυσικό n, πόσες φορές θα αλλάξει χρώμα. Εάν άρτιες φορές, τότε θα παραμείνει μπλέ, εάν περιττές, τότε θα γίνει πράσινος. Στη n-οστή αλλαγή αλλάζω τους αριθμούς της μορφής (n+1)k+n (n=1,2,3,… και k=0,1,2,…). Πρέπει λοιπόν να βρω για ένα τυχαίο n πόσα διαφορετικά ζεύγη a,b ικανοποιούν την εξίσωση (a+1)b+a=n (όπου a,b φυσικοί με a=1,…,(n-1) και b=0,1,2,3,…). Δεν εχω βρει πώς γίνεται αυτό συστηματικά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από pebox — Οκτώβριος 10, 2009 @ 2:28 πμ

  5. Σε συνέχεια του μηνύματος του pebox:
    Αρκεί να βρούμε το πλήθος των ζευγών a,b για τα οποία ισχύει (a+1)(b+1)=n+1. Το πλήθος αυτό όμως ισούται με το πλήθος διαιρετών του n+1 (δ(n+1)) μείον ένα (επειδή βγάζουμε την περίπτωση a=0). Άρα θέλουμε να βρούμε πότε ο αριθμός δ(n+1)-1 είναι άρτιος, δηλαδή πότε ο δ(n+1) είναι περιττός, το οποίο ισχύει αν-ν ο n+1 είναι τετράγωνο φυσικού. Συνεπώς οι αριθμοί που θα μείνουν τελικά μπλε είναι οι αριθμοί της μορφής k^2-1 για k=1,2,… .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από stedes — Οκτώβριος 10, 2009 @ 12:30 μμ

  6. Πολύ σωστά.

    Για να δει κανείς ότι ο δ(m) είναι περιττός αν και μόνο αν ο m είναι τετράγωνο ακεραίου, μπορεί να παρατηρήσει ότι οι διαιρέτες του m εμφανίζονται σε ζευγάρια διαφορετικών αριθμών εκτός από την τετραγωνική του ρίζα αν αυτή είναι ακέραιος. Ή διαφορετικά, αν

    m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}

    είναι η ανάλυση του m σε πρώτους παράγοντες, τότε οι διαιρέτες του m είναι οι αριθμοί της μορφής

    p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k}

    με \beta_i\in\{0,1,...,\alpha_i\}. Έχοντας \alpha_i+1 επιλογές για κάθε \beta_i, το πλήθος των διαιρετών του m είναι

    \delta(m)=(1+\alpha_1)(1+\alpha_2)\cdots(1+\alpha_k),

    απ’ όπου είναι φανερό ότι ο δ(m) είναι περιττός αν και μόνο αν όλοι οι \alpha_i είναι άρτιοι, δηλαδή αν και μόνο αν ο m είναι τετράγωνο ακεραίου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Οκτώβριος 10, 2009 @ 1:51 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: