Προβλήματα Μαθηματικών

Αύγουστος 27, 2009

Μπιλιάρδο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:20 πμ

pool-table

Ένα τραπέζι του μπιλιάρδου έχει διαστάσεις 1×2 και έχει τρύπες στις 4 κορυφές και στα μέσα των δύο μεγάλων πλευρών. Κάποιος ρίχνει μια βολή από μια κορυφή η οποία αρχίζει να χτυπά στα τοιχώματα και να ανακλάται. Τι πρέπει να ισχύει για τη γωνία βολής ώστε η μπάλα τελικά να μπεί σε κάποια τρύπα;

Υποθέτουμε ότι οι τρύπες και η μπάλα είναι σημεία, όχι όπως στην πραγματικότητα, και ότι δεν υπάρχουν άλλες μπάλες στο τραπέζι. Θυμίζουμε ότι όταν μια μπάλα ανακλάται από ένα τοίχωμα τότε η γωνία που σχηματίζει με το τοίχωμα όταν το χτυπάει είναι ίδια με αυτή που σχηματίζει όταν φεύγει από αυτό.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Εστω (x_0,y_0) το αρχικο σημειο της μπαλλας. Το να βαλουμε μια μπαλλα σε μια τρυπα ειναι ισοδυναμο με το να ενωσουμε με ευθεια γραμμη το αρχικο σημειο (x_0,y_0) με ενα ακεραιο σημειο (m,n) με m,n\in {\mathbb Z}. Αρα η γωνια βολης, \theta, πρεπει να ισουται με \theta=\arctan\frac{y_0-n}{x_0-m}, m,n\in \mathbb Z.

    Αν στη μεση δεν ειχε τρυπες τοτε η λυση θα ηταν \theta=atan\frac{y_0-n}{x_0-2m}, m,n\in \mathbb Z.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από yannispantazis — Σεπτεμβρίου 1, 2009 @ 9:14 μμ

  2. Γιατί;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Σεπτεμβρίου 1, 2009 @ 9:18 μμ

  3. Η ιδεα ειναι αντι να ακολουθησουμε την μπαλλα του μπιλιαρδου μεσα στο τραπεζι με τις οποιες αλλαγες κατευθυνσεις, να καλυψουμε το επιπεδο με μπιλιαρδα χωρις τοιχοματα που να ειναι κολλητα το ενα με το αλλο. Τοτε η μπαλλα θα ακολουθησει πορεια ευθειας γραμμης και απλα θα «πηδαει» απο μπιλιαρδο σε μπιλιαρδο. Οποτε για να μπει η μπαλλα σε μια τρυπα ειναι σαν να στοχευουμε ενα απο τα σημεια της καλυψης του επιπεδου απο μπιλιαρδα που εχει τρυπα.

    Επισης, επειδη η τοξο εφαπτομενη παιρνει τιμες στο \[-\pi/2,\pi/2]\] ειναι καλυτερα να χρησιμοποιησουμε την $atan2$ του MATLAB που παιρνει τιμες στο \[-\pi,\pi]\]. Οποτε η λυση δινετε απο \[\theta=atan2(n-y_0,m-x_0), m,n\in \mathbb Z\].

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από yannispantazis — Σεπτεμβρίου 2, 2009 @ 10:02 πμ

  4. Σωστά.

    Η ιδέα μπορεί να περιγραφεί και ως εξής: κάθε φορά που η μπάλα ανακλάται στο τοίχωμα εμείς μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η μπάλα συνεχίζει ίσια και ότι το τραπέζι ανακλάται ως προς την πλευρά που χτύπησε η μπάλα (δείτε εικόνα εδώ). Η σχετική θέση της μπάλας και του τραπεζιού διατηρείται κατ’ αυτόν τον τρόπο. Άρα για να μπει η μπάλα κάποτε σε μια τρύπα του τραπεζιού πρέπει και αρκεί η ευθεία γραμμή που κατασκευάζουμε με τον τρόπο που μόλις περιγράψαμε να περνάει από κάποια εικόνα τρύπας μετά από διαδοχικές ανακλάσεις (γεμίζουμε το επίπεδο με ανακλάσεις του τραπεζιού). Οι εικόνες των τρυπών του τραπεζιού είναι ακριβώς τα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες στο επίπεδο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Σεπτεμβρίου 3, 2009 @ 6:22 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: