Προβλήματα Μαθηματικών

Αύγουστος 5, 2009

Ίδια αθροίσματα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 4:52 μμ

Δίδονται 10 διαφορετικοί ακέραιοι από 1 έως 100 ο καθένας. Δείξτε ότι υπάρχουν δύο ξένες ομάδες από αυτούς με το ίδιο άθροισμα.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Έστω a_1,a_2,...,a_{10} οι 10 αριθμοί.
    Θεωρούμε όλα τα δυνατά αθροίσματα x_1a_1+x_2a_2+...+x_{10}a_{10}, όπου x_i=0 ή 1.
    Όλα τα δυνατά αθροίσματα είναι σε πλήθος 2^{10}=1024 και μπορούν να πάρουν τιμές από 0 (αν όλα τα x_i είναι 0) μέχρι 91+92+...+100=955 (αν όλα τα x_i είναι 1 και τα a_i είναι οι αριθμοί 91,92,...,100), άρα υπάρχουν τουλάχιστον δύο αθροίσματα που είναι ίσα.
    Έστω λοιπόν x_1a_1+x_2a_2+...+x_{10}a_{10}=y_1a_1+y_2a_2+...+y_{10}a_{10} δύο ίσα αθροίσματα, τότε ισχύει (x_1-y_1)a_1+(x_2-y_2)a_2+...+(x_{10}-y_{10})a_{10}=0 με τους συντελεστές x_i-y_i να είναι είτε -1, είτε 0, είτε 1.
    Θεωρούμε τώρα δύο ομάδες αριθμών όπου στην πρώτη ομάδα περιέχονται όσοι έχουν συντελεστή 1 στην τελευταία εξίσωση και στη δεύτερη ομάδα όσοι έχουν συντελεστή -1.
    Αυτές οι δυο ομάδες είναι ξένες και έχουν ίδιο άθροισμα στοιχείων.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από stedes — Αύγουστος 20, 2009 @ 6:50 μμ

  2. Πάρα πολύ σωστά.

    Αυτό είναι ένα παράδειγμα άσκησης που βγαίνει μέσα σε λίγα λεπτά το Σεπτέμβρη αλλά παίρνει μέρες μέσα στον Αύγουστο Και υπάρχουν κι άλλα τέτοια στο blog.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Αύγουστος 20, 2009 @ 6:55 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: