Προβλήματα Μαθηματικών

Ιουλίου 13, 2009

Περιγραφή ενός συνόλου μέσω πολυωνυμικών εξισώσεων

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:03 πμ

Ένας τρόπος να περιγράψει κανείς ένα σύνολο σημείων A \subseteq {\mathbb R}^n είναι μέσω κάποιων πολυωνυμικών εξισώσεων που το ορίζουν:

A = \{x \in {\mathbb R}^n: f_i(x) = 0, \forall i=1,2,\ldots,k\}

όπου τα f_i(x) είναι κάποια πολυώνυμα ως προς τις μεταβλητές x=(x_1,\ldots,x_n).

Για παράδειγμα το παρακάτω πολυωνυμικό σύστημα στο {\mathbb R}^3 περιγράφει κάποιο κύκλο στο χώρο:

x^2+y^2+z^2-1 = 0,\ x+y+z = 0.

Φυσικά δεν περιγράφονται όλα τα σύνολα με αυτό τον τρόπο.

Δείξτε ότι αν τα σύνολα A, B \subseteq {\mathbb R}^n περιγράφονται με αυτό τον τρόπο (είναι δηλ. το καθένα από αυτά το σύνολο λύσεων κάποιου συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων) τότε και η ένωση

A \cup B

περιγράφεται κατ’ αυτό τον τρόπο. (Είναι πολύ ευκολότερο να δείτε ότι η τομή A \cap B περιγράφεται από κάποιο πολυωνυμικό σύστημα.)

Advertisements

6 Σχόλια »

  1. To κάθε σύνολο μπορεί να περιγραφεί με μία μόνο εξίσωση, παίρνοντας το άθροισμα των τετραγώνων των εξισώσεων που την περιγράφουν. Π.χ. αν το σύνολο Α περιγράφεται από τις 2 εξισώσεις f(x_1,..,x_n)=0, g(x_1,..,x_n)=0, η αντίστοιχη, ισοδύναμη εξίσωση που το περιγράφει είναι f^2+g^2=0. Η ένωση των Α,Β (και φυσικά γενικεύεται και σε περισσότερα από ένα σύνολα) περιγράφεται παίρνοντας το γινόμενο των αντίστοιχων εξισώσεων, κάθε μία ούσα άθροισμα τετραγώνων.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charalampos Tsourakakis — Ιουλίου 14, 2009 @ 7:51 μμ

  2. Πολώ σωστά.

    Πώς μπορεί κανείς να αποδείξει το ιδιο πράγμα για υποσύνολα του {\mathbb C}^n, όπου φυσικά το a^2+b^2 μπορεί να είναι 0 χωρίς να είναι κανένα από τα a, b μηδέν;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 14, 2009 @ 7:58 μμ

  3. Αν A = \{x \in {\mathbb C}^n : f_i(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall i=1,2,\ldots,k\} και B = \{x \in {\mathbb C}^n : g_j(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall j=1,2,\ldots,r\} τότε A \cup B = \{x \in {\mathbb C}^n : f_i(x)\cdot g_j(x)=0 \hspace{0.2 in} \forall i=1,2,\ldots,k \hspace{0.2 in} \forall j=1,2,\ldots,r \}, άρα και η ένωση τους περιγράφεται κατά τον ίδιο τρόπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από stedes — Ιουλίου 17, 2009 @ 3:22 μμ

  4. stedes:

    Αυτή είναι η απάντηση, αλλά χρειάζεται κάποια (μικρή) αιτιολόγηση. Ειδικότερα θέλει αιτιολόγηση το ότι \{x:\ f_i(x)g_j(x)=0, \forall i,j\} \subseteq A \cup B. Η άλλη κατεύθυνση είναι φανερή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 17, 2009 @ 3:48 μμ

  5. Έστω ότι το y ανήκει στο σύνολο \{x: f_i(x)g_j(x)=0,\forall i,\forall j\}. Τότε ή όλα τα f_i(y) είναι ίσα με 0, άρα το y ανήκει στο A, ή υπάρχει τουλάχιστον ένα m για το οποίο f_m(y) \neq 0. Στη δεύτερη περίπτωση επειδή ισχύει f_m(y)g_j(y)=0 ,\forall j, όλα τα g_j(y) θα είναι ίσα με 0, άρα το y ανήκει στο B. Οπότε σε κάθε περίπτωση το y ανήκει στην ένωση A\cup B.

    Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάτι αντίστοιχο και για το συμπλήρωμα ενός συνόλου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από stedes — Ιουλίου 17, 2009 @ 4:53 μμ

  6. Πολύ σωστά, αυτή απόδειξη καλύπτει οποιοδήποτε σώμα, όχι μόνο τους μιγαδικούς.

    Το συμπλήρωμα δεν μπορεί εν γένει να οριστεί με αυτό τον τρόπο. Για παράδειγμα, όταν έχουμε μια μεταβλητή (υποσύνολα του {\mathbb R} ή του {\mathbb C}) όλα τα σύνολα

    \{x: f_i(x)=0,\ i=1,2,\ldots,m\}

    είναι πεπερασμένα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουλίου 17, 2009 @ 6:15 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: