Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 14, 2009

Μιγαδικά πολυώνυμα

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 1:11 πμ

Υπάρχει ακολουθία μιγαδικών πολυωνύμων η οποία συγκλίνει κατά σημείο σε ασυνεχή συνάρτηση;

Advertisements

8 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη:

    Στη Μιγαδική Ανάλυση υπάρχει το εξής αποτέλεσμα που παίζει το ρόλο τού Weierstrass (δεν είναι ειδική περίπτωση τού κλασικού Stone-Weierstrass) .

    Έστω U\subset\mathbb C ανοιχτό, f αναλυτική στο U, και K\subset U συμπαγές τέτοιο ώστε το \mathbb C\smallsetminus K είναι συνεκτικό. Τότε για κάθε \varepsilon>0 υπάρχει πολυώνυμο P τέτοιο ώστε

    {\displaystyle\sup_{z\in K}|f(z)-P(z)|<\varepsilon.}

    Το σχήμα αυτό, αν δεν σας μπερδέψει τελείως, θα σας βοηθήσει να εφαρμόσετε το θεώρημα. Η ένωση των έγχρωμων περιοχών είναι το σύνολο K.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 25, 2009 @ 8:42 μμ

  2. Για να δούμε σήμερα.Προσπάθισα να το γράψω και σε latex, αλλά είναι η πρώτη φορά που το χρησιμοποιώ αυτό, οπότε το αποτέλεσμα ίσως είναι και αρκετά άσχημο.

    Έστω οτι υπάρχει τέτοια ακολουθία πολυωνύμων $latex\{P_n\}$ που να συγκλίνει κατά σημείο στην ασυνεχή f.Αφού η f είναι ασυνεχής ας πούμε στο y, υπάρχει \varepsilon\ >0 ώστε για κάθε \delta\ >0, υπάρχει x με |x-y|  \varepsilon. Έστω τότε αυτό το ε, και έστω ένα δ>0.Τότε, έστω αυτό το x που είπα πριν.Αφού η $latex\{P_n\}$ συγκλίνει κατα σημείο στην f, υπάρχει n_1 ώστε για κάθε n>n_1 ισχύει |P_n(x)-f(x)|n_2 ισχύει |P_n(y)-f(y)|n_0.Τότε θα ισχύει οτι |P_n(x)-P_n(y)| > \frac{\varepsilon}{3}, και δηλαδή για κάθε δ>0 πήρα ένα x με |x-y| \frac{\varepsilon}{3}. Δηλαδή, ένα πολυώνυμο P_n δεν είναι συνεχές, άτοπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Απρίλιος 23, 2010 @ 3:54 μμ

  3. Λοιπόν δεν ξέρω τι γίνεται.Στα ίδια ακριβώς σημεία με πριν, (ανεξαρτήτως μερικές γκάφες με τη latex) εξαφανίζει το κείμενο, και «πηδάει» σε σημείο πιο μετά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Απρίλιος 23, 2010 @ 4:00 μμ

  4. Επειδή θα σκάσω όμως, έγραψα εδώ την ιδέα μου, με το nickname Cooper.Άμα θέλετε κοιτάξτε τη, και συγνώμη για τη ταλαιπωρία.

    http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=24&t=846&p=122481#p122481

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Απρίλιος 23, 2010 @ 4:12 μμ

  5. Olack – Cooper:

    Η σχέση στην οποία καταλήγεις δεν δείχνει ότι το P_n είναι ασυνεχές στο y, γιατί το n εξαρτάται από το n_1 το οποίο με τη σειρά του εξαρτάται από το x. Θα κατέληγες σε άτοπο αν η σχέση ίσχυε για σταθεροποιημένο n, οπότε θα είχες δείξει ότι το συγκεκριμένο πολυώνυμο είναι ασυνεχές. Δεν έχεις όμως ελπίδα στην συγκεκριμένη κατεύθυνση γιατί, τουλάχιστον στο \mathbb R, μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων μπορεί να συγκλίνει κατά σημείο σε ασυνεχή συνάρτηση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 23, 2010 @ 4:32 μμ

  6. Υποπτευόμουν οτι είχα λάθος κάπου ακριβώς για το λόγο που λέτε, δηλαδή οτι έτσι θα μπορούσα να δείξω οτι το όριο συνεχών είναι συνεχής χωρίς η σύγκλιση να είναι ομοιόμορφη.Απλά δεν μπορούσα να βρω το λάθος! Ευχαριστώ, θα ξαναπροσπαθήσω την άσκηση αργότερα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από olack — Απρίλιος 23, 2010 @ 4:44 μμ

  7. Δοκίμασε πρώτα την πραγματική περίπτωση, όπου έχεις το συνηθισμένο Weierstrass και όχι το περίεργο θεώρημα τής υπόδειξης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 23, 2010 @ 4:49 μμ

  8. Υπόδειξη:

    Για να καταλάβετε τι συμβαίνει στο \mathbb R, πάρτε οποιαδήποτε ακολουθία συνεχών συναρτήσεων f_n:\mathbb R\to \mathbb R η οποία συγκλίνει κατά σημείο σε ασυνεχή συνάρτηση, για παράδειγμα \displaystyle f_n(x)=e^{-\frac{x^2}{n}}. Τώρα σε κάθε κλειστό διάστημα, κάθε συνεχής συνάρτηση προσεγγίζεται ομοιόμορφα από πολυώνυμα. Μπορείτε λοιπόν να βρείτε μια ακολουθία πολυωνύμων η οποία να συγκλίνει κατά σημείο στο όριο τής f_n;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 23, 2010 @ 5:25 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: