Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 9, 2009

Μονομαχία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 11:01 πμ

Ένας μαθηματικός, ένας αριστοκράτης κι ένας κυνηγός αποφασίζουν να μονομαχήσουν για την αγάπη μιας γυναίκας. Ο κανόνας της μονομαχίας είναι ότι οι τρεις άνδρες πυροβολούν διαδοχικά μέχρι (μακάβριο…) να απομείνει ένας μόνο ζωντανός. Μετά από κλήρωση πρώτος πυροβολεί ο μαθηματικός, δεύτερος ο κυνηγός και τρίτος ο αριστοκράτης.

duel_Bloch

Ο μαθηματικός που δεν σκαμπάζει πολύ από όπλα έχει πιθανότητα 0,3 να πετύχει το στόχο του κάθε φορά που σκοπεύει, ο αριστοκράτης έχει πιθανότητα 0,5 και ο κυνηγός δεν αστοχεί ποτέ. Τι πρέπει να κάνει ο μαθηματικός μας;

Advertisements

8 Σχόλια »

  1. Σίγουρα στην αρχή έχοντας δύο επιλογές να πυροβολησω τον αριστοκράτη ή τον κυνηγό θα διαλέξω τον κυνηγό διοτι αν διαλέξω τον αριστοκράτη και τον πετύχω τότε στην επόμενη γύρα θα έχω βγεί απο το παιχνιδι και θα κερδίσει ο κυνηγός.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από vigavril — Ιουνίου 15, 2009 @ 3:42 μμ

  2. Κι αν ρίξεις προς τον κυνηγό θα εύχεσαι να τον πετύχεις ή να αστοχήσεις?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουνίου 15, 2009 @ 4:41 μμ

  3. θα εύχομαι να αστοχήσω αλλά επίσης θα εύχομαι μετά να διαλέξει να σκοτώσει τον αριστοκράτη ωστε να χάσει τη σειρά του ο αριστοκράτης και να έχω καποια πιθανότητα να τον πετύχω μετά, καλύτερη αυτή τη φορά εφόσον πρίν αστόχησα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από vigavril — Ιουνίου 15, 2009 @ 6:01 μμ

  4. Ο κυνηγός σίγουρα θα ρίξει προς τον αριστοκράτη ώστε να έχει μετά πιθανότητα να κερδίσει 0,7.
    Αν ρίξει προς εσένα θα έχει μόνο 0,5 (όση και να αστοχήσει ο αριστοκράτης).

    Εξήγησέ μας όμως ποσοτικά αν είναι δυνατόν… γιατί θα εύχεσαι να αστοχήσεις?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουνίου 16, 2009 @ 12:55 μμ

  5. Ο Μαθηματικος εχει 2 επιλογές ειτε να πυροβολήσει τον κυνηγο ειτε τον αριστοκράτη, θα υπολογισουμε την πιθανότητα νίκης για την καθε μια.

    Εστω οτι πυροβολάει τον αριστοκράτη τοτε άν πετυχει χανει με την μια καθως τον σκοτώνει ο κυνηγλος οπότε 0,3 x 0 = 0%
    Αν αστοχήσει τότε δέυτερος πεζει ο κυνηγός που σκοτώνει τον αριστοκράτη οπως ειπατε οπότε εχει αλλη μια ελπίδα να σκοτώσει τον κυνηγο στην δεύτερη βολη πριν πεθάνει αρα συνολικα 0,7 x 0,3 = 21%
    Αρα αν πυροβολήσει τον αριστοκράτη εχει 21 + 0 = 21% πιθανότητα νίκης

    Αν τωρα πυροβολήσει τον κυνηγό και τον πετύχει τοτε μενει μόνος με τον αριστοκρατη και ο αριστοκράτης πεζει πρωτος εστω Y% η πιθανότητα να κερδίσει στο 1 προς 1 οπότε 0,3 x Y η συνολική πιθανοτητα νικης
    Αν αστοχήσει τότε ο κυνηγός πυροβολει τον αριστοκρατη και ξανα εχει μια τελευταια βολη πριν πεθανει οποτε η πιθανότητα νικης ειναι 0,7 x 0,3 = 21%

    Θα μποροθσαμε να σταματήσουμε εδω καθως προφανώς 0,21 + Υ > 0,21 αρα η σωστη αποφαση ειναι να πυροβολησει τον κυνηγο ομως το Y υπολογίζεται:

    Στο 1 προς 1 με τον αριστοκράτη να πεζει πρωτος:
    Θέτουμε P(Mi) την πιθανότητα να νικήσει ο Μαθηματικός στον i γυρο
    P(Ai) την πιθανότητα να νικήσει ο Αριστοκράτης στον i γυρο
    P(Ci) την πιθανότητα να μην νικήσει κανείς στον i γυρο

    P(A1) = 0,5
    P(M1) = 0,5 x 0,3 = 0,15
    P(C1) = 0,5 x 0,7 = 0,35

    P(A) = P(A1) + P(C1) x P(A2) + P(C1) x P(C2) x P(A3) + … = 0,5(1 + c +c^2 + c^3 +…) = 0,5 x 1/(1-c) = 77%

    P(M) = P(M1) + P(C1) x P(M2) + P(C1) x P(C2) x P(M3) + … = 0,15(1 + c +c^2 + c^3 +…) = 0,15 x 1/(1-c) = 23%

    Αρα πυροβολόντας τον κυνηγό εχει 0,3 x 0,23 + 0,7 x 0,3 = 27,9% πιθανότητα νίκης

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από mcdallas — Ιουνίου 24, 2009 @ 5:22 μμ

  6. Mcdallas, Οι υπολογισμοί σου είναι σωστοί- παρόλα αυτά είναι στο χέρι του μαθηματικού να έχει πιθανότητα νίκης 0,3.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουνίου 24, 2009 @ 6:51 μμ

  7. προφανως εννοεις να αστοχισει επίτηδες, δεν ηξερα οτι υπαρχει και τετοια επιλογη οποτε σημαδευοντας οποιονδηποτε απ τους 2 και αστοχωντας επιτηδες στην συνεχεια ο κυνηγός θα σκοτωσει τον αριστοκράτη και ο μαθηματικος εχει τωρα πιθανοτητα 1 x 0,3 να πετυχει τον κυνηγο

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από mcdallas — Ιουνίου 24, 2009 @ 6:58 μμ

  8. Ακριβώς. Ένα άλλο ενδιαφέρον είναι ότι αν πρώτος πυροβολούσε ο αριστοκράτης εκείνος με τη μεγαλύτερη πιθανότητα νίκης θα ήταν ο μαθηματικός!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιουνίου 24, 2009 @ 7:02 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: