Προβλήματα Μαθηματικών

Μαΐου 8, 2009

Τρίγωνα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 1:41 πμ

Δείξτε ότι κάθε υποσύνολο τού επιπέδου με άπειρο εμβαδό περιέχει τις κορυφές κάποιου τριγώνου με εμβαδό 1.

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Το πρόβλημα αυτό, χωρίς να είναι ιδιαίτερα δύσκολο, δεν είναι τόσο «αθώο» όσο δείχνει.

    (1) Αν κανείς δεχτεί την Υπόθεση τού Συνεχούς (!), αποδεικνύεται ότι υπάρχει σύνολο με άπειρο εξωτερικό μέτρο το οποίο δεν περιέχει τις κορυφές τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό.

    (2) Η ακόλουθη παραλλαγή είναι ανοιχτό πρόβλημα:

    Υπάρχει κάποια σταθερά a>0 τέτοια ώστε κάθε σύνολο με εμβαδό μεγαλύτερο από a να περιέχει τις κορυφές ενός τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό;

    Ο Erdös πρόσφερε κάποιο (γελοίο) ποσό για την επίλυσή του.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 13, 2009 @ 2:11 πμ

  2. Το (1) που ανέφερα παραπάνω δεν φαίνεται να είναι γνωστό.
    Δίνω μια απόδειξη για όσους είναι περίεργοι και τους αρέσουν τα άκρως μη-κατασκευαστικά μαθηματικά.

    Ας πούμε ότι ένα σύνολο έχει την ιδιότητα (Ε) αν περιέχει τις κορυφές ενός τριγώνου με μοναδιαίο εμβαδό.
    Τώρα, ο πληθάριθμος τής οικογένειας όλων των συνόλων Borel θετικού μέτρου στο επίπεδο είναι 2^{\aleph_0}, επομένως αν δεχτούμε την Υπόθεση τού Συνεχούς, μπορούμε να έχουμε μια υπερπεπερασμένη αρίθμηση αυτής τής οικογένειας, έστω \{B_\xi:\xi<\omega_1\}, όπου \omega_1 είναι ο πρώτος υπεραριθμήσιμος διατακτικός αριθμός. Επιλέγουμε x_0\in B_0, και για \xi<\omega_1, έστω ότι τα x_\alpha, \alpha<\xi, έχουν επιλεγεί έτσι ώστε το σύνολο \{x_\alpha:\alpha<\xi\} δεν έχει την ιδιότητα (Ε). Για όλα τα ζευγάρια (x_\alpha,x_\beta), \alpha<\beta<\xi, το σύνολο των x για τα οποία το τρίγωνο με κορυφές x_\alpha,x_\beta,x έχει εμβαδό 1, έχει μέτρο μηδέν (αποτελείται από δυο ευθείες παράλληλες στο ευθύγραμμο τμήμα x_\alpha x_\beta). Έτσι, αφού το \{(x_\alpha,x_\beta):\alpha<\beta<\xi\} είναι αριθμήσιμο και το B_\xi έχει θετικό μέτρο, μπορούμε να βρούμε x_\xi\in B_\xi τέτοιο ώστε το σύνολο \{x_\alpha:\alpha<\xi\}\cup\{x_\xi\} δεν έχει την ιδιότητα (Ε). Θέτουμε {A=\{x_\xi:\xi<\omega_1\}} . Τότε το A δεν έχει την ιδιότητα (Ε) και είναι άπειρου εξωτερικού μέτρου, αφού τέμνει κάθε σύνολο Borel θετικού μέτρου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 13, 2009 @ 10:49 μμ

  3. Για το αρχικό πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα του Steinhaus που λέει ότι για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο Α του \mathbb{R}, το A-A = \{x-y:x,y \in A\} περιέχει μια περιοχή του 0.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Μαΐου 14, 2009 @ 1:11 πμ

  4. Ο Δημήτρης παραπάνω εννοεί μετρήσιμο υποσύνολο μη-μηδενικού μέτρου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 16, 2009 @ 1:57 πμ

  5. Υπόδειξη:

    Αν το A έχει θετικό εμβαδό, τότε υπάρχει μια ευθεία \ell τέτοια ώστε η τομή A\cap\ell έχει θετικό μήκος. Χρησιμοποιήστε τώρα το θεώρημα που αναφέρει ο Δημήτρης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 22, 2009 @ 7:11 μμ

  6. Νομίζω πως η ύπαρξη της \ell εξασφαλίζεται από το γεγονός ότι
    \displaystyle \infty=\mu_2 (A) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mu_1 (A \cap \ell_x) dx =  \int_{-\infty}^{+\infty} \mu_1 (A \cap \ell_y) dy ,
    όπου \mu_1, \mu_2 είναι το μονοδιάστατο και 2-διαστατο μέτρο Lebesgue, αντίστοιχα
    και \ell_x είναι ευθεία κάθετη στον xx’- αξονα που τον τέμνει στο σημείο x. Ομοίως η \ell_y .
    Ο άνω τύπος δίδει ότι υπάρχουν δύο τέτοιες ευθείες \ell_x,   \ell_y. Από το θεώρημα Steinhaus έχουμε
    ότι υπάρχει ένα \epsilon > 0, τέτοιο ώστε για κάθε \epsilon_0 < \epsilon υπάρχουν δύο
    σημεία στα A \cap \ell_x και A \cap \ell_y αντίστοιχα που είναι \epsilon_0 -κοντά.
    Σταθεροποιήστε ένα ζεύγος σημείων που ανήκει, π.χ., στο A \cap \ell_x και η απόσταση τους είναι μικρότερη ή ίση από \epsilon_0 .
    Τότε οποιδήποτε σημείο που βρίσκεται σε μία από τις δυο ευθείες που είναι παράλληλες στο A \cap \ell_x
    και σε απόσταση 2 \cdot \frac{1}{\epsilon_0} από το A \cap \ell_x , δημιουργεί μαζί με το επιλεχθέν ζεύγος
    τριάδα σημείων που είναι κορυφές τριγώνου εμβαδού 1.
    Αν για όλα τα \epsilon_0 < \epsilon και για όλα τα αντίστοιχα ζεύγη σημείων στο A \cap \ell_x
    καμία από τις αντίστοιχες ευθείες δεν περιέχει σημείο του Α, τότε αυτό σημαίνει ότι το Α περιέχεται στη
    άπειρη λωρίδα που έχει σύνορα παράλληλα στο A \cap \ell_x
    και σε απόσταση 2 \cdot \frac{1}{\epsilon} από το A \cap \ell_x .
    Στην περίπτωση αυτή, κάνουμε το ίδιο με άνω αλλά στο τμήμα A \cap \ell_y .
    Αυτό μας δίδει μια άλλη οικογένεια από ευθειες.
    Αν καμία από τις ευθείες της δεύτερης οικογένειας δεν περιέχει σημείο του Α,
    τότε το Α περιέχεται εντός της τομής των δύο (κάθετων) λωρίδων και συνεπώς θα πρέπει να έχει πεπερασμένο μέτρο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από henk&christos — Φεβρουαρίου 22, 2012 @ 11:47 μμ

  7. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 23, 2012 @ 12:10 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: