Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 29, 2009

Πεπερασμένο-προς-ένα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:13 πμ

Υπάρχει ομαλή συνάρτηση f:\mathbb R^n\to\mathbb R η οποία να παίρνει κάθε τιμή της πεπερασμένο πλήθος φορές;

Advertisements

8 Σχόλια »

  1. τι θα πει ομαλή;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από charav — Απρίλιος 29, 2009 @ 12:20 πμ

  2. Υπάρχουν όλες οι μερικές παράγωγοι όλων των τάξεων.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 29, 2009 @ 12:24 πμ

  3. Γιατί υπάρχει συνεχής?
    Δεν ισχύει ότι η f μπορεί να πάρει 2 τιμές το πολύ, πεπερασμένες φορές (το max και το min)? Για κάθε άλλο x, η αντίστροφη εικόνα του x διαχωρίζει άρα είναι άπειρη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από perastikos1 — Απρίλιος 29, 2009 @ 10:52 μμ

  4. perastikos1,

    Τι ακριβώς εννοείς όταν λες ότι η αντίστροφη εικόνα «διαχωρίζει»;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 30, 2009 @ 12:16 μμ

  5. Εννοώ οτι το \mathbb R^n\smallsetminus f^{-1}(x) δεν είναι συνεκτικό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από perastikos1 — Απρίλιος 30, 2009 @ 12:39 μμ

  6. Σωστά.

    Για όσους δεν γνωρίζουν από συνεκτικότητα, το επιχείρημα είναι το εξής.
    Αν το t δεν είναι μέγιστη ή ελάχιστη τιμή τής f τότε η αντίστροφη εικόνα A=f^{-1}(t) είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο, γιατί αν υποθέσουμε ότι είναι αριθμήσιμο, τότε επιλέγουμε u,v με f(u)<t<f(v) και συνδέουμε τα u,v με μια καμπύλη η οποία δεν περνάει από το A. Από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, υπάρχει κάποιο σημείο w πάνω στην καμπύλη τέτοιο ώστε f(w)=t, άτοπο αφού w\notin A.

    Αν υποθέσουμε ότι η f είναι ομαλή, υπάρχει και άλλη απόδειξη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 30, 2009 @ 5:30 μμ

  7. Ωραίο. Με τις υποθέσεις που τέθηκαν λύνεται και με το θ. πεπλεγμένης συνάρτησης (που είναι φυσικά όχι τόσο ικανοποιητική λύση αφού χρησιμοποιεί παραγώγους).

    Αλλά, στη λύση που δόθηκε, πόσο προφανές είναι ότι μπορούμε να αποφύγουμε ένα αριθμήσιμο σύνολο για να πάμε από ένα σημείο σε ένα άλλο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 30, 2009 @ 6:35 μμ

  8. Μόλις θυμήθηκα ότι αυτό που ρωτάει ο Μιχάλης είναι στα παλαιότερα προβλήματα
    Συνεκτικότητα και Ο διάτρητος χώρος.

    Αν κανείς είναι πολύ εκκεντρικός, στην περίπτωση που υπάρχουν οι παράγωγοι, μπορεί να χρησιμοποιήσει και την λεγόμενη co-area formula:

    \displaystyle\int|\nabla f|=\int_{-\infty}^\infty H^{n-1}(f^{-1}(t))\, dt,

    όπου H^{n-1} είναι ο (n-1)-διάστατος όγκος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 30, 2009 @ 7:52 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: