Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 26, 2009

Διαχωρισιμότητα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 9:44 μμ

Ένας μετρικός χώρος λέγεται διαχωρίσιμος αν έχει αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο. Για παράδειγμα, οι πραγματικοί και οι συνεχείς συναρτήσεις σ’ ένα κλειστό διάστημα είναι διαχωρίσιμοι χώροι. Οι φραγμένες ακολουθίες δεν είναι.
Είναι σχετικά εύκολο να δείξει κανείς ότι ένας διαχωρίσιμος χώρος έχει την ακόλουθη ιδιότητα την οποία, για μυστηριώδεις λόγους, θα ονομάσουμε ccc:

«Κάθε οικογένεια μη κενών, ξένων ανά δυο ανοιχτών συνόλων είναι το πολύ αριθμήσιμη.»

Αυτό μπορείτε να το δείτε ως εξής. Κάθε σύνολο τής οικογένειας περιέχει κάποιο στοιχείο τού πυκνού συνόλου. Η απεικόνιση που στέλνει κάθε σύνολο τής οικογένειας στο αντίστοιχο στοιχείο είναι 1-1.

Το ερώτημα είναι αν ισχύει το αντίστροφο: Αν ένας χώρος έχει την ccc τότε είναι διαχωρίσιμος;

Advertisements

11 Σχόλια »

  1. Έστω ότι υπάρχει μια αριθμήσιμη οικογενεια συνόλων την οποία την ονομάζουμε Ο και η οποία έχει την ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε ανοιχτό G το οποίο είναι υποσύνολο του Χ(όπου (Χ,ρ) ο μετρικός μας χώρος) και για κάθε στοιχείο του G υπάρχει ένα U το οποίο ανηκει στην οικογένεια Ο ώστε το χ να ανήκει στην U και το οποίο είναι υποσύνολο του G. Αν τώρα για κάθε U που δεν είναι το κενό σύνολο, αλλά ανήκει στην οικογένεια Ο επιλέξουμε ένα τυχαίο χ_U το οποίο είναι στοιχείο του U, τότε το σύνολο D={x_U:U να ανήκει στην οικογένεια Ο} είναι ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του Χ.Και άρα ο Χ διαχωρίσιμος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από charav — Απρίλιος 28, 2009 @ 10:45 πμ

  2. charav, νομίζω δεν δουλεύει αυτό που λες. Π.χ. η Ο μπορεί να αποτελείται από ένα μόνο ανοικτό σύνολο, το Χ.

    Όταν διάβαζα χθες την άσκηση, δεν πρόσεξα το «μετρικός χώρος». Ένα αντιπαράδειγμα σε τοπολογικούς χώρους είναι ένα οποιοδήποτε υπεραριθμήσιμο σύνολο Χ όπου τα κλειστά σύνολα είναι το Χ μαζί με όλα τα αριθμήσιμα σύνολα. Μόνο που ο Χ δεν είναι μετρικοποιήσιμος…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Απρίλιος 28, 2009 @ 12:25 μμ

  3. charav,

    Γιατί η D είναι αριθμήσιμη;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 28, 2009 @ 2:31 μμ

  4. Εννοώ πώς ξέρεις ότι μπορείς να επιλέξεις την O να είναι αριθμήσιμη;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 28, 2009 @ 3:32 μμ

  5. Αρχικά θεωρώ ένα σύνολο D={x_n:n=1,2,3,…} το οποίο έιναι ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του Χ. Η οικογένεια θα ριστεί ως
    Ο={Β(χ_n,q):q ανηκει στους θετικούς ακεραίους, χ_n στο D}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από charav — Απρίλιος 28, 2009 @ 6:34 μμ

  6. charav,

    στο (5) δείχνεις ότι αν ο χώρος είναι διαχωρίσιμος τότε έχει αριθμήσιμη βάση.
    Η άσκηση δεν ζητάει αυτό. Η άσκηση λέει ότι αν ο χώρος έχει την ccc τότε είναι διαχωρίσιμος.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 28, 2009 @ 6:46 μμ

  7. Υπάρχουν κάποια τεχνικά προβλήματα με τα post τού Δημήτρη.
    Η λύση που μου έστειλε με email είναι η ακόλουθη και είναι σωστή:

    Για κάθε ν, θα ορίσω μια οικεγένεια συνόλων O_n με τις εξής ιδιότητες
    1) Κάθε σύνολο A \in O_n είναι της μορφής B(x,\varepsilon) για κάποιο χ και κάποιο 0 < \varepsilon <1/n.
    2) Αν A,B \in O_n τότε A \cap B = \emptyset.
    3) Η \bigcup\limits_{A \in O_n}A είναι πυκνή στον Χ.

    Μπορούμε να το πετύχουμε αυτό με Zorn. Το μερικώς διατεταγμένο σύνολο
    είναι το σύνολο όλων των οικογενειών που ικανοποιούν τις (1) και (2)
    και η διάταξη δίνεται από την έγκλειση: Κάθε (μη κενή) αλυσίδα έχει
    μέγιστο στοιχείο (την ένωση των οικογενειών). κάθε μέγιστο στοιχείο
    πρέπει να ικανοποιεί την (3).
    Τα (1) και (2) με την συνθήκη ccc δίνουν ότι η O_n είναι αριθμήσιμη.

    Τώρα όπως κάνει ο charav, για κάθε U \in O_n παίρνω x_U \in U και ορίζω D_n = \{x_U: U \in O_n\}. H D_n είναι
    αριθμήσιμη, άρα και η D = \cup D_n είναι αριθμήσιμη. Επίσης, D
    πυκνό στον Χ: Αν όχι τότε υπάρχει ανοικτό σύνολο B(x,d) που
    δεν περιέχει κανένα στοιχείο της D. Αυτό είναι άτοπο αφού σίγουρα
    περιέχει όλα τα στοιχεία της D_n για n>2/d. (Αλλιώς θα
    παραβίαζε την συνθήκη (3).)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 28, 2009 @ 6:56 μμ

  8. Σχετικά με την ccc, σημαίνει countable chain condition.
    Ένας έλληνας έχει γράψει μια ολόκληρη μονογραφία σχετικά με αυτά τα πράγματα (chain conditions in topology).
    Την ταυτότητά του μπορεί κανείς εύκολα να την μαντέψει.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 28, 2009 @ 7:20 μμ

  9. αν ειναι δυνατό κ.Μιτση(σωστα το γράφω;) μπορείται να βάλετε το βιβλίο που αναφέρετε στο τελευταίο ποστ;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από charav — Απρίλιος 28, 2009 @ 10:10 μμ

  10. Βεβαίως, είναι το

    W. W. Comfort, S. Negrepontis, «Chain conditions in topology». Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 79, Cambridge University Press, New York, 1982.

    Όσοι έχετε σπουδάσει, ή σπουδάζετε, στην Αθήνα, σίγουρα γνωρίζετε τον δεύτερο συγγραφέα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 28, 2009 @ 10:16 μμ

  11. Ναι σίγουρα. Ευχαριστώ πολύ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από charav — Απρίλιος 28, 2009 @ 10:23 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: