Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 5, 2009

Σταθερά σημεία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 10:37 μμ

Η ταυτοτική συνάρτηση f(z)=z είναι ένα (τετριμμένο) παράδειγμα μιας αναλυτικής (=παραγωγίσιμης=ολόμορφης) συνάρτησης από τον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο στον εαυτό του η οποία έχει περισσότερα από ένα σταθερά σημεία, δηλαδή σημεία με την ιδιότητα f(a)=a. Υπάρχει άλλη τέτοια συνάρτηση;

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση f. Μπορώ να υποθέσω ότι f(0) = 0. Πράγματι, αν f(w)=w, τότε η g = \phi f \phi^{-1}, όπου \phi(z) = \frac{z-w}{\overline{w}z -1} είναι αναλυτική συνάρτηση από τον μονοδιαίο δίσκο στον εαυτό του, με g(0) = 0 και με περισσότερα από ένα σταθερά σημεία. Επίσης, η f είναι ταυτοτική αν και μόνο αν η g είναι ταυτοτική.

    Το λήμμα του Schwarz μας λέει ότι πρέπει να έχουμε g(z) = e^{i \theta}z για κάποιο \theta. Αλλά τότε η g είναι ταυτοτική.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Μαΐου 5, 2009 @ 8:33 μμ

  2. Σωστά.

    Οι συναρτήσεις
    \displaystyle\varphi_a(z)=c\cdot\frac{z-a}{1-\overline{a}z},\quad |a|<1,|c|=1,
    είναι ακριβώς οι αυτομορφισμοί (αναλυτικές, 1-1, επί) τού ανοιχτού δίσκου. Χρησιμοποιούνται, μεταξύ άλλων, όταν θέλουμε να «εναλλάξουμε» δυο σημεία τού δίσκου.

    Το λήμμα τού Schwarz λέει ότι αν η f στέλνει τον δίσκο στον δίσκο και f(0)=0, τότε |f(z)|\leq|z|. Αν έχουμε ισότητα σε κάποιο μη μηδενικό σημείο, τότε f(z)=cz, όπου |c|=1.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 5, 2009 @ 9:25 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: