Προβλήματα Μαθηματικών

Απρίλιος 4, 2009

Ομαλότητα και φορέας

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 9:04 πμ

Αν F είναι ένα κλειστό σύνολο στο {\mathbb R}^n τότε η συνεχής συνάρτηση

f(x) = {\rm dist}(x, F)

μηδενίζεται ακριβώς πάνω στο F.

Υπάρχει πάντα μια ομαλή συνάρτηση f (δηλ. με άπειρες παραγώγους ως προς όλες τις μεταβλητές σε όλο το {\mathbb R}^n) που να μηδενίζεται ακριβώς στο F;

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Γνωρίζω ότι υπάρχουν και είναι τα λεγόμενα «bump functions». Μόνο που … δεν έχω μελετήσει πως φτιάχνονται. Το κλασσικό παράδειγμα που γνωρίζω είναι η f(x) = \begin{cases} 0 & x \leqslant 0\\ e^{-1/x^2} & x \geqslant 0\end{cases} η οποία είναι ομαλή και μηδενίζεται ακριβώς στο (-\infty,0].

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Απρίλιος 7, 2009 @ 1:43 μμ

  2. Ουπς: x > 0 έπρεπε να πω.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Απρίλιος 7, 2009 @ 1:44 μμ

  3. Τα «bump functions» στα οποία αναφέρεσαι είναι ομαλές συναρτήσεις που είναι 0 έξω από τη μοναδιαία μπάλα και αυστηρά θετικές μέσα. Μπορεί κανείς να τις κατασκευάσει με διάφορους τρόπους ακόμη και αν δεν έχει τόσο φαντασία ώστε να βρεί ένα τύπο σαν κι αυτό που γράφεις παραπάνω.

    Αλλά δεν είναι αυτό που έχει σημασία εδώ. Ας υποθέσουμε την ύπαρξη τέτοιων συναρτήσεων και ας δούμε πώς μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε ώστε να φτιάξουμε μια ομαλή συνάρτηση που να μηδενίζεται ακριβώς πάνω σε δεδομένο κλειστό σύνολο του χώρου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 7, 2009 @ 4:24 μμ

  4. Είχα την εντύπωση πως όλα αυτά λέγονταν «bump functions». Τέλως πάντων: Υποθέτω πως για κάθε (ανοικτή) μπάλα στο \mathbb{R}^n υπάρχει ομαλή συνάρτηση η οποία μηδενίζεται έξω από την μπάλα και είναι αυστηρά θετική μέσα. Από συμπάγεια οποιαδήποτε τέτοια συνάρτηση καθώς και όλες οι παραγώγοι τις είναι φραγμένη. (Δεν παίζει ρόλο που η μπάλα είναι ανοικτή. Κοιτάμε οποιαδήποτε κλειστή μπάλα που την περιέχει.)

    Έστω λοιπόν κλειστό σύνολο F, x_1,x_2,\ldots μια απαρίθμηση όλων των ρητών σημείων του \mathbb{R}^n που δεν ανήκουν στο F, και U_1,U_2, \ldots ανοικτές μπάλες ώστε x_i \in U_i και U_i \cap F = \emptyset για κάθε i.

    Αρκεί να βρούμε συναρτήσεις f_1,f_2,\ldots ώστε κάθε f_i είναι 0 έξω από το U_i, αυστηρά θετική μέσα στο U_i και f = \sum{f_n} υπάρχει και είναι ομαλή.

    Μπορούμε όμως να υποθέσουμε πως
    – Η f_1 έχει μέγιστο 1.
    – Η f_2 και η πρώτη παράγωγός της έχουν μέγιστο το πολύ 1.
    – Η f_3 και η πρώτη και δεύτερη παράγωγός της έχουν μέγιστο το πολύ 1.
    Και γενικά η f_n και οι πρώτες n-1 παραγώγοι της έχουν μέγιστο το πολύ 1.

    Το ζητούμενο τώρα έπεται από γνωστά θεωρήματα περι ομοιόμορφης συγκλίσεως και παραγωγίσεως.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Απρίλιος 7, 2009 @ 5:57 μμ

  5. Διόρθωση: Η f_n και οι πρώτες n-1 παραγώγοι της έχουν μέγιστο το πολύ 1/2^n.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Απρίλιος 7, 2009 @ 5:59 μμ

  6. Σωστά. Το βασικό θεώρημα που πρέπει κανείς να χρησιμοποιήσει εδώ είναι αν ότι μια σειρά f=\sum f_n που συγκλίνει ομοιόμορφα σ’ένα ανοιχτό διάστημα I, είναι τέτοια ώστε και η σειρά των παραγώγων \sum f_n' συγκλίνει ομοιόμορφα στο I τότε και η f είναι επίσης παραγωγίσιμη.

    Το δεύτερο ουσιαστικό συστατικό είναι φυσικά το να αρχίσει κανείς να «ανησυχεί» για την k-τάξης παράγωγο όχι από την αρχή αλλά μετά από κάποια βήματα. Αυτό εξασφαλίζει ότι σε κάθε βήμα της διαδικασίας έχουμε πεπερασμένες το πλήθος παραγώγους να φροντίσουμε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απρίλιος 8, 2009 @ 12:14 μμ

  7. Είναι δυνατόν να κατασκευάσει κανείς την f έτσι ώστε να είναι συγκρίσιμη με την d(x,F), και έτσι να έχει μια πραγματικά ομαλή έκδοσή της.
    Αυτό όμως απαιτεί κάτι που λέγεται Whitney decomposition τού συμπληρώματος τού F.
    Δηλαδή ότι το συμπλήρωμα τού F μπορεί να γραφτεί σαν ενώση κλειστών κύβων οι οποίοι ανά δύο έχουν ξένα εσωτερικά, και η διάμετρος κάθε ενός είναι συγκρίσιμη με την απόστασή του από το F.
    Αυτή είναι η (ιδιαίτερα μη τετριμμένη) γενίκευση σε ανώτερες διαστάσεις τού τρόπου που λύνουμε το πρόβλημα στην ευθεία.
    Στην ευθεία το συμπλήρωμα τού F είναι ένωση ξένων ανά δύο ανοιχτών διαστημάτων. Σε κάθε ένα από αυτά, απλά βάζουμε μια bump function και τελειώσαμε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 8, 2009 @ 3:46 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: