Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 27, 2009

Θετικό μήκος

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 12:42 πμ

Υπάρχει σύνολο θετικού μήκους το οποίο να μην είναι ισοπληθικό με το \mathbb R;

Advertisements

12 Σχόλια »

  1. Αν μπορουσαμε να αποδειξουμε οτι υπαρχει συνολο Ε θετικου μηκους που να μην ειναι ισοπληθικο με το R τοτε ως υποσυνολο του θα εχει πληθαριθμο μικροτερο του συνεχους. Απο την αλλη δεν μπορει να ειναι αριθμησιμο καθως τοτε θα ειχε μετρο 0. Αρα θα ανακαλυπταμε ενα πληθαριθμο μεταξυ του αλεφ 0 και του συνεχους, δλδ με λιγα λογια θα απαντουσαμε αρνητικα στην υποθεση του συνεχους, πραγμα το οποιο εχει αποδειχθει οτι ειναι ανεξαρτητο απο τα αξιωματα μας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Μαρτίου 27, 2009 @ 6:39 πμ

  2. Νίκο, η απάντηση στο ερώτημα δεν εξαρτάται από την ισχύ ή μη της Υπόθεσης του Συνεχούς. Μια απόδειξη-απάτη ότι δεν υπάρχει τέτοιο σύνολο είναι η εξής: Αν E το σύνολο αυτό, είναι γνωστό ότι το E-E περιέχει ένα διάστημα. Όμως ο πληθικός του E-E είναι ίδιος με αυτό του E και επομένως το E έχει πληθικό του συνεχούς.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαρτίου 27, 2009 @ 9:09 πμ

  3. Γιατί ο πληθάριθμος τού E-E είναι ίσος με τον πληθάριθμο τού E;
    Προφανώς είναι μεγαλύτερος ή ίσος. Γιατί είναι μικρότερος ή ίσος;
    (Οι λύσεις πρέπει να έχουν και… διδακτικό χαρακτήρα)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 27, 2009 @ 12:25 μμ

  4. Νομίζω πως αυτό που έγραψε ο nikos3223 είναι σωστό.

    Δε μπορούμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο σύνολο γιατί αυτό θα ήταν αντίφαση με την ανεξαρτησία της υπόθεσης του συνεχούς (αυτό υπό τον όρο ότι στη θεωρία μέτρου δεν έχουμε υποθέσει πουθενά την άρνηση της υπόθεσης του συνεχούς, για το οποίο είμαι σίγουρος ότι είναι σωστό).

    Όμως αυτή η προσπάθεια αφήνει ανοιχτό το ενδεχόμενο να είναι και αυτό το ερώτημα ανεξάρτητο, αφού ίσως να μη μπορούμε να αποδείξουμε και το αντίθετο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαρτίου 27, 2009 @ 2:09 μμ

  5. Προσπαθούν (οι μαθηματικοί) να αποδεικνύουν ότι κάτι υπεραριθμήσιμο έχει πληθάριθμο τουλάχιστον όσο και οι πραγματικοί, χωρίς να επικαλούνται αξιώματα τής θεωρίας συνόλων. Δηλαδή να «επαληθεύουν» την υπόθεση τού συνεχούς σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.

    Παραδείγματα: Κάθε υπεραριθμήσιμο σύνολο Borel έχει τον πληθάριθμο τού συνεχούς. Η αλγεβρική διάσταση ενός απειροδιάστατου χώρου Banach είναι τουλάχιστον c.

    Κάτι τέτοιο ζητάει και η άσκηση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 27, 2009 @ 3:59 μμ

  6. Σχετικά με την λύση τού nikos3223, αξίζει να σημειωθεί το εξής.
    Η παρακάτω πρόταση (ισχυρότερη από τον ισχυρισμό τής άσκησης):

    «Αν ένα σύνολο έχει θετικό εξωτερικό μέτρο, τότε έχει τον πληθάριθμο τού συνεχούς»

    είναι ισοδύναμη με την υπόθεση τού συνεχούς.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 27, 2009 @ 8:21 μμ

  7. Συγγνώμη, μάλλον παρεξήγησα αυτά που έγραψε ο nikos3223.

    Το E-E έχει τον ίδιο πληθάριθμο με αυτό του E γιατί υπάρχει επί απεικόνιση από το E\times E στο E-E (η προφανής (x,y)\leftarrow x-y) και είναι εύκολη άσκηση να δείξει κανείς ότι οι πληθάριθμοι των E και E\times E συμπίπτουν.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ikonst — Μαρτίου 30, 2009 @ 8:05 πμ

  8. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 30, 2009 @ 7:00 μμ

  9. Μια ερώτηση σχετικά με το σχόλιο 6.
    Γιατί η πρόταση
    «Αν ένα σύνολο έχει θετικό εξωτερικό μέτρο, τότε έχει τον πληθάριθμο τού συνεχούς»
    συνεπάγεται την υπόθεση του συνεχούς;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από stedes — Απρίλιος 4, 2009 @ 7:42 μμ

  10. Είναι ένα παλιό (σχεδόν 100 χρονών) θεώρημα τού Sierpinski.
    Αν κάποιος θέλει να… το διαβάσει (!) υπάρχει εδώ:

    «Sur une propriete des series qui ne sont pas absolument convergentes»
    Bulletin International de l’Academie Polonaise des Sciences et des Letters, Classe des Sciences Mathematiques et Naturelles, Cracovie, 149 (1911), 149-158.

    ‘Ισως υπάρχει και σε κάτι πιο σύγχρονο και λιγότερο σκοτεινό, αλλά αυτή τη στιγμή δεν μπορώ να θυμηθώ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 4, 2009 @ 9:24 μμ

  11. Ευχαριστώ. Βρήκα και μια ακόμη αναφορά στο βιβλίο «Problems in Real and Complex Analysis» του Bernard R. Gelbaum, σελ. 273, αλλά αναφέρει κι εκεί την ίδια πηγή.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από stedes — Απρίλιος 5, 2009 @ 8:50 μμ

  12. Παρεμπιπτόντως, το βιβλίο που αναφέρει ο stedes, παρά το ότι μάλλον δεν θα μπορούσε να πει κανείς ότι είναι γραμμένο με τρόπο που θα του χάριζε το Νόμπελ λογοτεχνίας, περιέχει έναν μεγάλο αριθμό προβλημάτων σε διάφορα επίπεδα δυσκολίας, και συνιστάται σε όσους θέλουν να δοκιμάζουν μόνοι τους.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Απρίλιος 5, 2009 @ 10:48 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: