Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 14, 2009

Ισομετρία

Έστω A\subset \mathbb R κλειστό και φραγμένο, και f:A\to A μια συνάρτηση τέτοια ώστε |f(x)-f(y)|=|x-y| για κάθε x,y. Δείξτε ότι η f είναι επί.

Advertisements

15 Σχόλια »

  1. Αρχικα η συναρτηση μας ειναι ενα προς ενα και αρα οριζεται η αντιστροφη f^{-1} απο το συνολο τιμων της f στο Α. Στη συνεχεια θεωρουμε ακολουθια x_{n} στο \mathbf R με την εξης ιδιοτητα |x_1-x_2|=|x_2-x_3|=..... Τοτε μπορουμε να δουμε οτι για καθε n\in\mathbf N ισχυει το εξης: για ολα τα i,j στο συνολο 1,2,...,n η αποσταση του x_i απο το x_j ειναι ειτε μηδενικη ειτε ειναι τουλαχιστον |x_1-x_2|. Αρα συμπεραινουμε οτι η ακολουθια αυτη δεν μπορει να εχει υποακολουθια που να ειναι Cauchy εκτος και εαν η υποακολουθια ειναι σταθερη. Χρησιμοποιωντας αυτο εχουμε το ακολουθο: Θεωρουμε x\in A. Οριζουμε την ακολουθια x_n=f^n(x) οπου με f^0 συμβολιζουμε την ταυτοτικη απεικονιση και με f^n την συνθεση της f με τον εαυτο της n φορες για n μεγαλυτερο ισο του 1. Επειδη ακριβως η συναρτηση μας f ειναι ισομετρια εχουμε οτι |x_1-x_2|=|x_2-x_3|=..... Το συνολο μας ομως ειναι συμπαγες και αρα υπαρχει υποακολουθια της x_n που να ειναι Cauchy. Αρα θα πρεπει η υποακολουθια αυτη να ειναι σταθερη. Με αλλα λογια υπαρχει δεικτης n και δεικτης m μεγαλυτεροι του 1 και με m>n ωστε f^m(x)=f^n(x) και ετσι εφαρμοζοντας την αντιστροφη της f επεται f^{m-n}(x)=x. Αρα το x ανηκει στην εικονα της f και η αποδειξη ειναι πληρης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Μαρτίου 19, 2009 @ 5:01 πμ

  2. Σωστά.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 19, 2009 @ 1:44 μμ

  3. Και τι γίνεται στο {\mathbb R}^2;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαρτίου 19, 2009 @ 3:09 μμ

  4. Καλή ερώτηση.
    Δείξτε ότι το αποτέλεσμα γενικεύεται σε κάθε συμπαγή μετρικό χώρο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 19, 2009 @ 3:25 μμ

  5. mporoume na poume oti i f(x) os lipshitz einai sinexis sinartisi ke afou orizete se klisto ke fragmeno diastima tha pernei megisti kai elaxisti timi s’auto ke en sinexeia na dikeologisoume to «epi» apo to theorima ton endiameson timon? an oxi pou kanw lathos?

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikkaram — Μαρτίου 19, 2009 @ 4:56 μμ

  6. Πράγματι, αν υποθέσεις ότι το A είναι διάστημα, τότε το συμπέρασμα έπεται άμεσα από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής.
    Το ζήτημα είναι ότι το A δεν είναι κατ’ανάγκη διάστημα, αλλά ένα αυθαίρετο κλειστό και φραγμένο σύνολο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 19, 2009 @ 5:30 μμ

  7. malista, euxaristo

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikkaram — Μαρτίου 19, 2009 @ 5:32 μμ

  8. Η αποδειξη στο 1 δε χρησιμοποιει καπου οτι βρισκομαστε στο \mathbf R. Κανουμε οτι και πριν αλλα αντικαθιστουμε την απολυτη τιμη με την μετρικη p(x,y) στον τυχαιο συμπαγη μετρικο χωρο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Μαρτίου 19, 2009 @ 8:07 μμ

  9. Όχι. Στο \mathbb R^2, ο πρώτος ισχυρισμός στην απόδειξη δεν είναι σωστός.
    Μπορεί κάλλιστα |a-b|=|b-c|=1 και |a-c|=0.0000123.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 19, 2009 @ 9:49 μμ

  10. Εχετε δικιο. Λαθος μου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από nikos3223 — Μαρτίου 20, 2009 @ 1:16 πμ

  11. Θα το αποδείξω για Χ συμπαγή μετρικό χώρο. Για x \in X θέτω x_1 = f(x), x_2 = f(x_1) κτλ. O X είναι συμπαγής άρα και totally bounded (ολικώς φραγμένος; ). Άρα μπορώ να βρω διαφορετικά i,j ώστε d(x_i,x_j) < 1/n. Από την ισομετρία της f υπάρχει y_n ώστε d(x,f(y_n)) i, τότε μπορώ να πάρω y_n = x_{j-i-1}. Η ακολουθία y_n έχει συγκλίνουσα υπακολουθία (σε μετρικούς χώρους συμπάγεια = ακολουθιακή συμπάγεια). Αν η υπακολουθία συγκλίνει στο y τότε από την συνέχεια της f παίρνουμε d(x,f(y)) = 0, δηλαδή f(y) = x.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 20, 2009 @ 1:23 μμ

  12. Σωστά.
    Βελτιώνω λίγο τον συμβολισμό σου για να διαβάζεται καλύτερα από τους υπόλοιπους.
    Για κάθε n υπάρχουν j(n)>i(n) τέτοια ώστε d(x_{i(n)},x_{j(n)})<1/n. Αφού η f είναι ισομετρία, έχουμε
    d(x_{i(n)},x_{j(n)})=d(x,f(x_{j(n)-i(n)-1})). Θέτουμε y_n=x_{j(n)-i(n)-1}, κ.τ.λ.
    Για όσους δεν το γνωρίζουν, ολικά φραγμένος χώρος σημαίνει ότι για κάθε r>0, ο χώρος καλύπτεται από πεπερασμένο πλήθος δίσκων ακτίνας r.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 20, 2009 @ 3:21 μμ

  13. Ας το γενικεύσουμε λίγο ακόμη…

    Θυμηθείτε ότι ένας μετρικός χώρος είναι συμπαγής αν και μόνο αν είναι πλήρης και ολικά φραγμένος. Στην απόδειξη του Δημήτρη χρησιμοποιείται ότι ο Χ είναι πλήρης (η y_n έχει συγκλίνουσα υπακολουθία και το όριό της ανήκει στον Χ.)

    Δείξτε ότι για να είναι η f επί αρκεί ο Χ να είναι ολικά φραγμένος .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαρτίου 20, 2009 @ 5:20 μμ

  14. Μιχάλη, νομίζω δεν ισχύει αυτό που ισχυρίζεσαι:

    Παίρνω X = \{x_1,x_2,\ldots\} με d(x_i,x_j) = d((i-j)\sqrt{2},\mathbb{Z}) και f(x_i) = x_{i+1}, όπου d(x,\mathbb{Z}) είναι η μικρότερη απόσταση που έχει το χ από κάποιο ακέραιο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Δημήτρης — Μαρτίου 21, 2009 @ 12:26 πμ

  15. Ναι Δημήτρη, έχεις δίκιο.

    Είχα σκεφτεί την εξής λύση. Έστω ότι υπάρχει x\in X\setminus f(X). Ας θεωρήσουμε μια κάλυψη του X με N ανοικτά σύνολα διαμέτρου 0<\epsilon<d(x,f(X)) (εδώ χρειάζομαι την συμπάγεια), με το N να είναι το ελάχιστο δυνατό. Ένα τέτοιο ανοικτό σύνολο που περιέχει το x δεν μπορεί να τέμνει το f(X) άρα το f(X) μπορεί να καλυφθεί από N-1 ανοικτά σύνολα διαμέτρου \epsilon. Οι αντίστροφες εικόνες αυτών των συνόλων τώρα καλύπτουν το X και έχουν διάμετρο το πολύ \epsilon αφού η f είναι ισομετρία, αντιβαίνοντας στην ελαχιστότητα του N.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαρτίου 21, 2009 @ 4:51 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: