Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 5, 2009

Μετρήσιμοι δίσκοι

Filed under: Άλυτα Προβλήματα,Με υπόδειξη — Themis Mitsis @ 12:10 μμ

Είναι αλήθεια ότι η ένωση μιας αυθαίρετης οικογένειας κλειστών δίσκων στο επίπεδο είναι πάντα μετρήσιμο σύνολο;

Advertisements

10 Σχόλια »

  1. Επιτρέπεται να χρησιμοποιήσω κλειστούς δίσκους ακτινας 0; 🙂

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 6, 2009 @ 1:01 μμ

  2. Προφανώς όχι…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 6, 2009 @ 1:13 μμ

  3. Όπως λέει και ο Polya, αν δεν μπορείς να λύσεις ένα δύσκολο πρόβλημα, λύσε ένα πιο εύκολο. Μπορώ λοιπόν να δείξω ότι η ένωση αυθαίρετης οικογένειας κλειστών διαστημάτων (με θετικό μήκος) στο R είναι μετρήσιμο σύνολο.

    Δυστυχώς όμως δεν μπόρεσα να γενικεύσω την απόδειξή μου στο επίπεδο. (Πιστεύω όμως πως χάνω κάτι απλό.) Θα την ξανακοιτάξω απόψε.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 10, 2009 @ 1:35 μμ

  4. Δώσε την απόδειξή σου για τα διαστήματα. Όλες οι ιδέες είναι ευπρόσδεκτες.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 10, 2009 @ 2:51 μμ

  5. Αυτό που είπα ήταν να κοιτάξουμε τα connected components (συνδεδεμένες συνιστώσες; ) της ένωσης. Κάθε τέτοιο component είναι ασφαλώς διάστημα και άρα μετρήσιμο. Επίσης όλα έχουν θετικό μέτρο και άρα περιέχουν κάποιο ρητό. Άρα το πλήθος τους είναι πεπερασμένο και άρα η ένωση είναι μετρήσιμη.

    Δεν βλέπω όμως πως μπορεί αυτό να δουλέψει στο επίπεδο. Υπάρχουν συνδεδεμένα υποσύνολα του επιπέδου που δεν είναι μετρήσιμα. Γνωρίζουμε φυσικά πως αυτά τα συνδεδεμένα υποσύνολα προκύπτουν από ένωση κλειστών δίσκων αλλά δεν βλέπω κάτι που να με βοηθήσει να δείξω πως η ένωση είναι μετρήσιμη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 11, 2009 @ 12:09 πμ

  6. Ακριβώς (εννοείς βέβαια ότι οι συνεκτικές συνιστώσες είναι αριθμήσιμες, όχι πεπερασμένες).
    Το επιχείρημα είναι αποκλειστικά μονοδιάστατο.
    Στο επίπεδο, θα πρότεινα να κοιτάξεις το σύνορο τής ένωσης. Αν δείξεις ότι έχει μέτρο μηδέν τότε η ένωση είναι μετρήσιμη.
    Είναι δυνατόν το σύνορο να έχει θετικό μέτρο;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαρτίου 11, 2009 @ 12:38 πμ

  7. Ναι, ασφαλώς αριθμήσιμες ήθελα να πω.

    Είχα κοιτάξει το σύνορο. Είναι σίγουρα πουθενά πυκνό. Δυστυχώς όμως υπάρχουν πουθενά πυκνά σύνολα με θετικό μέτρο. Άρα πρέπει να χρησιμοποιήσω και κάποια άλλη ιδιότητα του συνόρου. Θα το ξανασκεφτώ.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 11, 2009 @ 12:29 μμ

  8. Μια τετοια ενωση ειναι παντα μετρησιμη. Εστω \mathcal{F}=\{B_i:i\in I\} μια οικογενεια κλειστων δισκων. Εστω A η ενωση αυτων των δισκων. Μπορουμε να υποθεσουμε οτι υπαρχει καποιος θετικος αριθμος M τ.ω. M<{\rm diam}(B_i)\le2M\;\forall i\in I. Αν οχι, θετουμε \mathcal{F}_n:=\{B_i:i\in I,\;2^n<{\rm diam}(B_i)\le 2^{n+1}\} για n\in\mathbb{Z} και δουλευουμε σε καθε νεα οικογενεια \mathcal{F}_n ξεχωριστα. Επισης, μπορουμε να υποθεσουμε οτι \bigcap_{i\in I}\textrm{int}(B_i)\neq\emptyset. Αν οχι, θετουμε \mathcal{F}(q):=\{B_i:i\in I,\;q\in\textrm{int}(B_i)\} για q\in\mathbb{Q}^2 και δουλευουμε σε καθε νεα οικογενεια ξεχωριστα.

    Θα δειξουμε οτι το συνορο \partial A ειναι πεπερασμενη ενωση τοξων καποιων κυκλων. Xωρις βλαβη της γενικοτητας, μπορουμε να υποθεσουμε οτι η οικογενεια \mathcal{F} ειναι “κλειστη”, δηλαδη περιεχει ολα τα ορια κυκλων – τα οποια ειναι και αυτα κυκλοι, καθως αν προσθεσουμε αυτα τα νεα “οριακα” στοιχεια αφηνουμε αναλλοιωτο το εσωτερικο και το συνορο του A. Θεωρουμε τρια στοιχεια του \mathcal{F}, τα B_i,B_j,B_k τ.ω. B_i\cap\partial A\neq\emptyset, \exists x_{ij}\in B_i\cap B_j\cap\partial A και \exists x_{jk}\in B_j\cap B_k\partial A. Εστω C_i ενα (μη κενο) τοξο του \partial A\cap B_i. Τοτε ειναι ευκολο να δουμε οτι αν η αποσταση |x_{ij}-x_{jk}| ειναι μικροτερη απο μια σταθερα που εξαρταται μονο απο το M και την {\rm dist}(x_0,\partial A), δεν υπαρχει αλλος κυκλος πλην των B_j,B_k που να τεμνει το C_i. (Θα χρειαζοταν να μικρυνουμε την ακτινα αυτου του υποθετικου κυκλου τοσο πολυ που δε θα περιειχε το x_0 πια).

    Το παραπανω επιχειρημα αποδεικνυει οτι το συνορο \partial A ειναι πεπερασμενη ενωση τοξων κυκλων. Επομενως, το \partial A εχει μετρο 0. Οποτε ειναι μετρησιμο συνολο. Το εσωτερικο του A ειναι επισης μετρησιμο ως ανοιχτο συνολο. Ομως, A=\textrm{int}(A)\cup B, οπου B\subset\partial A και αρα το A ειναι μετρησιμο συνολο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από partalopoulo — Μαΐου 6, 2009 @ 2:05 πμ

  9. Αν θεωρήσεις την οικογένεια κλειστών δίσκων

    \displaystyle \mathcal F=\{B(x,1):x\in[0,0.001]\times\{0\}\},

    τότε ικανοποιεί τις επιπλέον υποθέσεις που έχεις βάλει, αλλά το σύνορο τής ένωσης δεν είναι πεπερασμένη ένωση τόξων (περιέχει και δυο ευθύγραμμα τμήματα).

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 6, 2009 @ 1:47 μμ

  10. Υπόδειξη:

    Η ιδέα τού partalopoulo ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι ακτίνες είναι μεγαλύτερες από κάποια θετική σταθερά είναι στη σωστή κατεύθυνση.
    Τώρα, αν το σύνορο είχε θετικό μέτρο, τότε θα είχε κάποιο σημείο πυκνότητας, δηλαδή θα υπήρχε x_0\in\partial A τέτοιο ώστε

    \displaystyle \lim_{r\to0}\frac{|\partial A\cap D(x_0,r)|}{|D(x_0,r)|}=1,

    όπου |\cdot| είναι το μέτρο Lebesgue. Χρησιμοποιήστε ότι το r στο παραπάνω όριο μπορεί να γίνει αυθαίρετα μικρό, αλλά οι ακτίνες των δίσκων τής οικογένειας όχι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Μαΐου 7, 2009 @ 1:17 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: