Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 3, 2009

Σημεία μέσα σε κύκλο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 10:23 πμ

Για ένα άπειρο αριθμήσιμο σύνολο σημείων L \subseteq {\mathbf R}^2, με την ιδιότητα ότι κάθε δύο σημεία του L απέχουν μεταξύ τους τουλάχιστον 1, δείξτε ότι για κάθε n μπορείτε να βρείτε κύκλο που έχει στο εσωτερικό του ακριβώς n σημεία του L.

Advertisements

5 Σχόλια »

  1. Να γενικεύσω λίγο το ερώτημα. (Ίσως το νέο ερώτημα να είναι και πιο εύκολο να απαντηθεί!)

    1) Δείξτε ότι οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων δεν παίζουν ρόλο.
    2) Για κάθε ν θέλουμε να κατασκευάσουμε κύκλο C_n που να περιέχει ακριβώς ν σημεία του L. Δείξτε ότι όλοι οι κύκλοι C_n μπορούν είναι ομόκεντροι.
    3) Δείξτε ότι μπορούμε να πετύχουμε τα (1) και (2) ταυτόχρονα. Δηλαδή: Δίνεται αριθμήσιμο L στο επίπεδο. Να δειχθεί ότι υπάρχουν ομόκεντροι κύκλοι C_1,C_2,\ldots ώστε ο κύκλος C_n να περιέχει ακριβώς ν σημεία του L.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 3, 2009 @ 1:09 μμ

  2. Demetres

    Οι αποστάσεις των σημείων δεν παίζουν ρόλο αρκεί να υπάρχει ένα θετικό κάτω φράγμα. Αν π.χ. πάρεις σαν L το σύνολο των σημείων με ρητές συντεταγμένες κάθε κύκλος με θετική ακτίνα θα περιέχει στο εσωτερικό του άπειρα σημεία του L.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαρτίου 3, 2009 @ 1:52 μμ

  3. Μιχάλη έχεις δίκιο. Δεν πρόσεξα ότι χάλαγε η λύση μου.

    Λοιπόν: Κοιτάμε αρχικά το σύνολο Α όλων των σημείων που ισαπέχουν από δύο σημεία του L. Το Α είναι αριθμήσιμη ένωση ευθειών και άρα δεν καλύπτει όλο το επίπεδο. (Γιατί;) Ισχυρίζομαι ότι οποιοδήποτε σημείο που δεν ανήκει στο Α δουλεύει σαν κέντρο όλων των κύκλων που χρειαζόμαστε. Το μόνο πρόβλημα που θα μπορούσε να προκύψει (που δεν το είχα προσέξει προηγουμένως) είναι να υπάρχει ρ ώστε για κάθε ε>0, ο δακτύλιος μεταξώ των κύκλων με ακτίνες ρ και (ρ+ε) να περιέχει άπειρα σημεία του L. Αυτό όμως δεν μπορεί να συμβεί λόγω του φράγματος στην συνθήκη. Πράγματι, μπορούμε να γεμίσουμε αυτόν το δακτύλιο με πεπερασμένο αριθμό από μπάλες ακτίνας 1/2. Κάθε τέτοια μπάλα περιέχει το πολύ ένα σημείο του L.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 5, 2009 @ 12:43 μμ

  4. Σωστό. Πάντως δε χρειάζεται ακριβώς κάτω φράγμα στην απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία του συνόλου. Αρκεί το σύνολο να είναι διακριτό, να μην έχει δηλ. σημεία συσσώρευσης.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαρτίου 5, 2009 @ 2:54 μμ

  5. Σωστά. Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούμε την συμπάγεια της κλειστής μπάλας, για να δείξουμε ότι περιέχει πεπερασμένο αριθμό σημείων του L.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 6, 2009 @ 1:00 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: