Προβλήματα Μαθηματικών

Φεβρουαρίου 13, 2009

Διαδοχικά σημεία

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Themis Mitsis @ 3:14 μμ

Έστω A\subset\mathbb R ένα σύνολο με θετικό μήκος. Δείξτε ότι υπάρχουν τρία διαδοχικά σημεία a,b,c\in A τέτοια ώστε c-b=b-a. Στη συνέχεια δείξτε ότι υπάρχουν 6969^{666} τέτοια σημεία. Τέλος δείξτε ότι η ανθρωπότητα θα είχε καταστραφεί αν δεν ίσχυε το αποτέλεσμα αυτό.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το {A} έχει πεπερασμένο μήκος και στη συνέχεια να το καλύψουμε με ανοικτά διαστήματα πεπερασμένου μήκους ώστε \sum_{j} m(I_j)\leq \frac{1}{1-\epsilon} m(A) .

    To m(A) φράσεται από το \sum m(A \cap I_j) άρα κάποιο διάστημα Ι ικανοποιεί την m(A \cap I)  \geq(1-\epsilon)m(I).

    Τώρα τα περισσότερα στοιχεία του διαστήματος ανήκουν στο A , οπότε θα θέλαμε να μετακινήσουμε το λίγο το A \cap I
    και να παραμείνουμε εντός του I . Γι’αυτό το λόγο, κάνοντας χρήση της κανονικότητας του μέτρου, προσεγγίζουμε εσωτερικά το A \cap I με ένα συμπαγές K ώστε m(K) \geq m(A \cap I) - \epsilon_1 , όπου το
    \epsilon_1 θα καθοριστεί αργότερα.

    Η συμπάγεια του K δίνει \delta = d(K,I^{c})>0 , που σημαίνει ότι επιτρέπεται να μετακινήσουμε το
    K κατά x ή \frac{x}{2} για κάθε x μεταξύ του 0 και \frac{\delta}{2} .

    Παρατηρούμε ότι αρκεί να δείξουμε πως για κάποιο τέτοιο x, το P= K \cap (K+x) \cap(K+2x) είναι μη κενό .

    Στην πραγματικότητα αναμένουμε το P να περιέχει κάποιο τίμιο ποσοστό του I, και όντως θα δούμε ότι έχει μέτρο μεγαλύτερο
    από (1- \epsilon) m(I) .

    Θέτοντας K_i = ix + K , i=0,1,2 , υπολογίζουμε από την ισότητα εγκλεισμού-αποκλεισμού :
    m(K_i \cap K_j ) = 2 m(K) - m(K_i \cup K_j) \geq 2 m(K) - m(I) που είναι μεγαλύτερο του
    (1-2 \epsilon) m(I) - 2 \epsilon_1 .

    Επιπλέον m (\cup _{i} K_i)+ \sum_{i,j} m(K_i \cap K_j)= 3 m(K) + m(P) άρα βάζοντας παντού το m(I)
    προκύπτει m(P) \geq m(I) (1-7 \epsilon) -7 \epsilon_1 και το συμπεράσμα προκύπτει για
    \epsilon_1=\epsilon m(I) .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ef8sof — Φεβρουαρίου 15, 2009 @ 3:55 πμ

  2. Πολύ σωστά.
    Δεν δείχνεις ότι το μέτρο τού P είναι τόσο όσο λες, αλλά αυτό δεν έχει σημασία.
    Αρκεί ότι το P είναι μη κενό.

    Το επιχείρημα δείχνει ότι κάθε σύνολο θετικού μέτρου περιέχει, για κάθε n, ένα ομοθετικό αντίγραφο τού συνόλου \{1,2,\dots,n\}. Είναι ανοιχτό πρόβλημα, αν υπάρχει άπειρο σύνολο με την ίδια ιδιότητα.

    Για να γράψουμε latex, το σύμβολο τού δολαρίου πρέπει να είναι κολλημένο με την λέξη latex.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Φεβρουαρίου 15, 2009 @ 3:19 μμ

  3. Οι πραξεις στο τελος θελουν ελεγχο,οντως επαγωγικα μπορουμε να δειξουμε το αντιστοιχο της τελικης ανισοτητας για αριθμητικες προοδους απεριοριστου μηκους (εδω εγινε για μηκους 3).
    Θυμιζει στη διατυπωση το κλασικο szemeredi αλλα η αποδειξη του ειναι η αποδειξη του steinhaus + ε προσπαθεια .

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από ef8sof — Φεβρουαρίου 15, 2009 @ 5:31 μμ

  4. Ιδού ένα σχετικό θεώρημα:

    Ας λέμε το σημείο x \in A συνοριακό σημείο του A (κατά μέτρο) αν σε κάθε περιοχή του x υπάρχει θετικό μέτρο του A αλλά και του A^c (συμπλήρωμα του A). Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο A \subseteq {\mathbb R} που τα συνοριακά του σημεία (κατά μέτρο) έχουν θετικό μέτρο.

    Αν είναι
    B=\{b_1,\ldots,b_m\},\ W=\{w_1,\ldots,w_n\}
    δύο πεπερασμένα σύνολα τότε υπάρχει x\in{\mathbb R} και t>0 τέτοια ώστε
    x+tB \subseteq A και x+tW \subseteq A^c,
    όπου συμβολίζουμε x+tB = \{x+t b_1, \ldots, x+t b_m\} και ομοίως για το x+tW.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Φεβρουαρίου 17, 2009 @ 12:29 πμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: