Προβλήματα Μαθηματικών

Φεβρουαρίου 8, 2009

Σφαίρα μεγάλης διάστασης

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 3:45 μμ

Έστω ακολουθία \{X_n\} από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με ομοιόμορφη κατανομή στο [-1,1]. Αν R_n=(X_1^2+X_2^2+...+X_n^2)^{1/2}, δείξτε ότι 

\displaystyle \mathbb{P}\big[R_n>1-\frac{1}{\sqrt{n}} \left|\right. R_n\le 1\big]\longrightarrow 1.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Μιχάλη, κάτι δεν διαβάζω σωστά στην άσκηση. Ποιού ενδεχομένου μας ενδιαφέρει η πιθανότητα;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 2, 2009 @ 8:47 μμ

  2. Είναι μια δεσμευμένη πιθανότητα: η πιθανότητα του ενδεχομένου R_n>1-\frac{1}{\sqrt{n}} δεδομένου ότι R_n\le 1.

    Προσέξτε ότι ο νόμος των μεγάλων αριθμών προβλέπει ότι
    \frac{R_n}{\sqrt{n}}\to \frac{1}{\sqrt{3}} σχεδόν βεβαίως.

    Το ενδεχόμενο ως προς το οποίο δεσμεύουμε είναι λοιπόν σπάνιο, και αυτό που θέλουμε να δούμε είναι πώς υλοποιείται αυτό το σπάνιο ενδεχόμενο. Αυτό που λέει η άσκηση είναι ότι αν οι \{X_i\} είναι στη μοναδιαία μπάλλα τότε είναι σχεδόν πάνω στη μοναδιαία σφαίρα.

    Είναι ένα πρόβλημα μεγάλων αποκλίσεων, λύνεται όμως πολύ εύκολα γεωμετρικά!

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαρτίου 2, 2009 @ 11:33 μμ

  3. Μιχάλη, είχα μπερδευτεί τελείως.

    Λοιπόν, το πρόβλημα είναι όντως εύκολο γεωμετρικά. Λέει ότι παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο στον ν-διάστατο κύβο και ρωτάει πια είναι η πιθανότητα να βρίσκεται στον διακτύλιο που βρίσκεται ενδιάμεσα στις μπάλες με ακτίνες 1-1/\sqrt{n} και, δεδομένου ότι βρίσκεται μέσα στην μπαλα ακτίνας 1. Η συγκεκριμμένη πιθανότητα είναι 1 - \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n \geqslant 1 - \exp{-\sqrt{n}} \to 1

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 3, 2009 @ 2:38 πμ

  4. Σωστά- η γεωμετρική ερμηνεία αυτού του αποτελέσματος είναι ότι ο όγκος της μοναδιαίας n-διάστατης μπάλλας για μεγάλο n συγκεντρώνεται κοντά στην επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαρτίου 3, 2009 @ 1:41 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: