Προβλήματα Μαθηματικών

Ιανουαρίου 25, 2009

Διαταραχή τάξης 1

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 6:07 μμ

Θεωρούμε δύο διανύσματα x,y\in\mathbb{R}_{*}^n και τον n\times n πίνακα \Pi με \Pi_{ij}=x_iy_j. Ποια είναι η ορίζουσα του F(\epsilon)=I+\epsilon\Pi; Για εκείνες τις τιμές του \epsilon που ο F(\epsilon) είναι αντιστρέψιμος, ποιός είναι ο αντίστροφός του ; 

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Υπόδειξη
    Προσέξτε ότι μπορούμε να γράψουμε τον πίνακα \Pi σαν γινόμενο ενός πίνακα στήλη x με ένα πίνακα γραμμή y^T.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Φεβρουαρίου 8, 2009 @ 5:16 μμ

  2. Μιχάλη (Λουλάκη) χαιρετώ. Μόλις σήμερα ανακάλυψα το υπέροχο blog σας. Είμαι ο Δημήτρης Χριστοφίδης. Είχαμε γνωριστεί όταν ήσουν στο Cambridge.

    Για την άσκηση: Ισχυρίζομαι ότι η ορίζουσα είναι 1 + \varepsilon (x \cdot y) και η αντίστροφος (αν υπάρχει) είναι \left(I - \frac{\varepsilon}{(1 + \varepsilon (x \cdot y))} \Pi \right).

    Για την απόδειξη, βοηθάει να παρατηρήσουμε (όπως έχεις υποδείξει) ότι \Pi = xy^T και άρα \Pi^2 = x(y^Tx)y^T = (x \cdot y)\Pi. Εύκολα τώρα μπορεί να ελεγχθεί ότι ο πίνακας που έδωσα είναι όντως αντίστροφος.

    Για την ορίζουσα δεν ξέρω αν έχεις πιο εύκολη απόδειξη. Εγώ χρησιμοποίησα ότι (F - I)(F - (1 + \varepsilon(x \cdot y)I)) = 0, άρα όλες οι ιδιοτιμές του F ισούνται είτε με 1, είτε με 1 + \varepsilon(x \cdot y) και επειδή το άθροισμά τους ισούται με n + \varepsilon(x \cdot y) βρίσκουμε ότι ν-1 ιδιοτιμές ισούνται με 1 και μία με 1 + \varepsilon(x \cdot y), άρα η ορίζουσα ισούται με 1 + \varepsilon(x \cdot y).

    [Φαντάζομαι μπορείς να βρεις τα ιδιοδιανύσματα. Π.χ. το (x_1,\ldots,x_n) είναι το ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής 1 + \varepsilon(x \cdot y), αλλά δεν έψαξα να βρω τα υπόλοιπα.]

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 2, 2009 @ 3:11 πμ

  3. Ωχ, συγνώμη. Πως γράφεις σε latex;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 2, 2009 @ 3:15 πμ

  4. Γεια σου Δημήτρη- και ευχαριστούμε για το σχόλιό σου. Η λύση σου είναι σωστή.
    Ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 1 είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του y– διάστασης n-1. Το x είναι το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 1+\epsilon(x\cdot y).
    Αν το x είναι κάθετο στο y τότε ο F έχει μόνο n-1 γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα και δεν είναι διαγωνιοποιήσιος.

    Για να γράψεις σε latex ανάμεσα στα σύμβολα δολλαρίου και πριν γράψεις τον κώδικα γράψε latex.
    Π.χ. αν βάλεις ανάμεσα σε δολλάρια το
    latex \frac{p}{q}
    θα πάρεις \frac{p}{q}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαρτίου 2, 2009 @ 4:22 πμ

  5. Χαιρετώ σας και συγχαρητήρια για το blog σας. Σχετικά με την αιτιολόγηση του Δημήτρη περί των τιμών των ιδιοτιμών και της τιμής της ορίζουσας είναι και η εξής. Το άθροισμα των στοιχείων της διαγωνίου του πίνακα Π είναι ίσο με το άθροισμα των ιδιοτιμών του. Όμως ο Π δεν ειναι παρα το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \vec{x}, \vec{y} (όπως προαναφέρατε), άρα γνωρίζουμε οτι όλες οι ιδιοτιμές εκτός μιας είναι μηδέν (rank 1). Αυτή η μη μηδενική είναι ίση με το εσωτερικό γινόμενο \vec{x}'\vec{y}. Μετά είναι απλό να δείξει κάποιος οτι η ιδιοτιμή του \epsilon \vec{x}\vec{y}' είναι \epsilon \vec{x}'\vec{y} και πως όταν προσθέτουμε τον πίνακα I απλά την μεταθέτουμε κατά 1 όπως και τις μηδενικές ιδιοτιμές στο 1. Άρα η ορίζουνσα του τελικού πίνακα είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών = 1*…*1*1+ \epsilon \vec{x}'vec{y}. Γεια χαρά

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Charalampos Tsourakakis — Μαρτίου 2, 2009 @ 10:03 πμ

  6. Κιαυτό σωστό.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαρτίου 2, 2009 @ 10:57 πμ

  7. Δοκιμή: \frac{p}{q}

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από demetres — Μαρτίου 2, 2009 @ 8:40 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: