Προβλήματα Μαθηματικών

Ιανουαρίου 3, 2009

Τρίγωνα και χρώματα

Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και διαιρούμε την επιφάνεια του τριγώνου σε μικρότερα τρίγωνα έτσι ώστε αυτά να έχουν είτε μια κοινή πλευρά, είτε μια κοινή κορυφή είτε κανένα κοινό σημείο, όπως π.χ. στο σχήμα.

triangulation1

Βάφουμε τις κορυφές των τριγώνων που προκύπτουν ως εξής: οι κορυφές που βρίσκονται επί της ΑΒ βάφονται κίτρινες ή μπλε, οι κορυφές επί της ΒΓ βάφονται μπλε ή κόκκινες, και εκείνες επί της ΑΓ βάφονται κίτρινες ή κόκκινες. Οι υπόλοιπες κορυφές βάφονται με οποιοδήποτε από τα τρία χρώματα.

Δείξτε ότι ένα τουλάχιστον από τα μικρά τρίγωνα έχει κορυφές βαμμένες με διαφορετικά χρώματα.

Advertisements

4 Σχόλια »

  1. Για καθένα από τα μικρά τρίγωνα \alpha ας ορίσουμε N(\alpha)\in\{0,1,2\} να είναι το πλήθος των πλευρών του τριγώνου \alpha που έχουν ένα κίτρινο και ένα μπλε άκρο. Δείξτε ότι ο αριθμός \displaystyle \sum_{\alpha} N(\alpha) είναι περιττός.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιανουαρίου 18, 2009 @ 9:39 μμ

  2. Με τη βοήθεια της υπόδειξης:
    Κάθε πλευρά με ένα άκρο μπλε και ένα άκρο κίτρινο που βρίσκεται στο εσωτερικό του μεγάλου τριγώνου θα ανήκει σε δύο τρίγωνα άρα θα υπολογίζεται δύο φορές στο άθροισμα \displaystyle \sum_{\alpha} N(\alpha), οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι οι πλευρές που ανήκουν πάνω στο ΑΒ και έχουν ένα άκρο κίτρινο και ένα άκρο μπλε είναι περιττές σε πλήθος.
    Έχουμε ως δεδομένο ότι το Α είναι κίτρινο και το Β μπλε άρα αν η μόνη πλευρά πάνω στην ΑΒ είναι η ΑΒ ισχύει το ζητούμενο. Έστω ότι ισχύει γενικά αν έχουμε ν πλευρές πάνω στην ΑΒ, τότε προσθέτοντας ένα ακόμη σημείο και παίρνοντας περιπτώσεις για τα χρώματα αυτού και των διπλανών του βλέπουμε ότι και πάλι το πλήθος των πλευρών με ένα άκρο κίτρινο και ένα άκρο μπλε παραμένει περιττός αριθμός.
    Άρα ισχύει ότι ο \displaystyle \sum_{\alpha} N(\alpha) είναι περιττός.
    Αν τώρα δεν υπήρχε κανένα τρίγωνο με κορυφές βαμμένες με διαφορετικά χρώματα τότε για κάθε τρίγωνο \alpha για το οποίο θα ίσχυε N(\alpha)>0 θα ήταν αναγκαστικά N(\alpha)=2, άρα το \displaystyle \sum_{\alpha} N(\alpha) θα ήταν άρτιος, το οποίο είναι άτοπο. Συνεπώς υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από stedes — Ιανουαρίου 20, 2009 @ 2:31 πμ

  3. Πολύ ωραία. Μπορούμε να πούμε και κάτι παραπάνω… Αν T είναι το σύνολο των τριγώνων που έχουν κορυφές με διαφορετικά χρώματα τότε ο \displaystyle |T|-\sum_\alpha N(\alpha) είναι άρτιος. (Παρατηρήστε ότι όπως σχεδόν είπε ο stedes N(\alpha)=1 αν και μόνο αν \alpha\in T.) Επομένως ο |T| είναι όχι μόνο τουλάχιστον 1 αλλά και περιττός αριθμός.

    Θα μπορούσε κανείς να αποδείξει ότι το πλήθος των πλευρών απί της ΑΒ με άκρα χρωματισμένα διαφορετικά (κίτρινο και μπλε) είναι περιττός αριθμός χρησιμοποιώντας ουσιαστικά το ίδιο επιχείρημα όπως στο εσωτερικό. Δηλαδή, αν N(\alpha) είναι το πλήθος των κίτρινων κορυφών του τμήματος \alpha επί της ΑΒ και T το σύνολο των τμημάτων επί της ΑΒ με άκρα χρωματισμένα διαφορετικά, τότε ο \sum_\alpha N(\alpha) είναι περιττός (κάθε κίτρινη κορυφή στο εσωτερικό μετράται δυο φορές και η κορυφή Α μια. Από την άλλη N(\alpha)=1 αν και μόνο αν \alpha\in T και άρα ο |T| είναι περιττός αριθμός. Αντίστοιχα, το πρόβλημα σε n διαστάσεις ανάγεται στο ίδιο πρόβλημα σε n-1 διαστάσεις. Μπορείτε να δείξετε π.χ. ότι αν βάψουμε τις κορυφές μιας πυραμίδας με 4 χρώματα, διαιρέσουμε το εσωτερικό της σε μικρότερες πυραμίδες…

    Η άσκηση αυτή είναι γνωστή ως λήμμα του Sperner. Δείξτε τώρα το ακόλουθο.

    Νέο ερώτημα

    Επιστρέφοντας στο αρχικό μας τρίγωνο έστω f μια συνεχής συνάρτηση από το ΑΒΓ στο ΑΒΓ. Δείξτε χρησιμοποιώντας το παραπάνω λήμμα ότι η f έχει ένα τουλάχιστον σταθερό σημείο. Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιανουαρίου 20, 2009 @ 4:15 πμ

  4. Υπόδειξη (για το νέο ερώτημα):

    Θεωρήστε μια τριγωνοποίηση και βάψτε τις κορυφές των τριγώνων ως εξής: Αν μια κορυφή x απέχει από την κίτρινη κορυφή λιγότερο από την f(x) βάψτε την x κίτρινη. Διαφορετικά, αν η x απέχει από την μπλε κορυφή λιγότερο από την f(x) βάψτε την x μπλε. Διαφορετικά, αν η x απέχει από την κόκκινη κορυφή λιγότερο από την f(x) βάψτε την x κόκκινη. Αν τίποτα από αυτά δε συμβαίνει τότε f(x)=x. Αν καταφέρετε να βάψετε όλες τις κορυφές…

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Μαΐου 9, 2009 @ 9:57 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Δημιουργήστε ένα δωρεάν ιστότοπο ή ιστολόγιο στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: