Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 31, 2008

Εξίσωση 5ου βαθμού

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 5:23 πμ

Δύο από τις λύσεις της εξίσωσης 

\displaystyle x^5+x^4-2x^3-2x^2-2x+1=0

είναι αντίστροφοι αριθμοί. Βρείτε όλες τις λύσεις της.

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Αν a η μία ρίζα και \dfrac{1}{a} η αντίστροφη της, τότε το πολυώνυμο θα γράφεται ως (x-\dfrac{1}{a})(x-a)(x^3+bx^2+cx+1). Εξισώνοντας τη σχέση αυτή με το x^5+x^4-2x^3-2x^2-2x+1

    και απαιτώντας ισότητα συντελεστών προκύπτει σύστημα ως προς a, b, c. Λύνοντας το (σχετικά έυκολα) προκύπτουν οι λύσεις

    (a,b,c)=(\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2},0,-3) και (a,b,c)=(\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2},0,-3). Παρατηρούμε όμως ότι

    αν μία τριάδα (a,b,c) είναι λύση του συστήματος, τότε και η τριάδα

    (\dfrac{1}{a},b,c) θα αποτελεί λύση γιατί δε μεταβάλλει το γινόμενο (x-\dfrac{1}{a})(x-a). Συνεπώς οι αριθμοί \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} και

    \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2} είναι αντίστροφοι μεταξύ τους και είναι δύο από τις ρίζες του πολυωνύμου.

    Μπορούμε τώρα να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο ως (x-a)(x-\dfrac{1}{a})(x^3-3x+1).

    Μένει να λύσουμε την x^3-3x+1=0. Με την αντικατάσταση x=2cos\theta παίρνουμε: 1-6cos\theta+8cos^3\theta=0 \Leftrightarrow

    1+2(-3cos\theta+4cos^3\theta)=0 \Leftrightarrow 1+2cos(3\theta)=0 \Leftrightarrow cos(3\theta)=-\dfrac{1}{2}

    απ’ όπου προκύπτει ότι \theta=\dfrac{2\pi}{9},\dfrac{8\pi}{9},\dfrac{14\pi}{9} δηλαδή x=2cos(\dfrac{2\pi}{9}),2cos(\dfrac{8\pi}{9}),2cos(\dfrac{14\pi}{9})

    Συνεπώς οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι οι αριθμοί:

    x=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2},2cos(\dfrac{2\pi}{9}),2cos(\dfrac{8\pi}{9}),2cos(\dfrac{14\pi}{9})

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από xatzial — Ιανουαρίου 1, 2009 @ 2:32 πμ

  2. Πολύ σωστά.

    Για όσους φαίνεται «ουρανοκατέβατη» η έμπνευση της αντικατάστασης που έκανες για να λύσεις την εξίσωση τρίτου βαθμού να θυμίσουμε πως πολυώνυμα της μορφής x^3-3px+q μπορούν να παραγοντοποιηθούν χρησιμοποιώντας την ταυτότητα x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2),
    αρκεί να βρει κανείς u,v ώστε uv=p, u^3+v^3=q. Αυτό είναι εύκολο όμως. Τέλος οποιοδήποτε πολυώνυμο 3ου βαθμού μπορεί να τεθεί στη μορφή x^3-3px+q με μια αντικατάσταση της μορφής x\mapsto x+a.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Ιανουαρίου 1, 2009 @ 3:38 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: