Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 23, 2008

Άπειρο γινόμενο

Filed under: Άλυτα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 2:45 μμ

Ορίζουμε αναδρομικά την ακολουθία \{\alpha_n\} ως εξής:

\alpha_0\ge -1 και \alpha_n=\sqrt{\frac{1+\alpha_{n-1}}{2}}, για κάθε n\in\mathbb{N}. Υπολογίστε το όριο \displaystyle L(\alpha_0)=\lim_{n\to\infty}\prod_{j=1}^{n}\alpha_j.

 

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Χρονια πολλα!
    Θα γραψω μονο την ιδεα γιατι δυσκολευομαι με τα συμβολα.
    Αν a_0>1 τοτε επαγωγικα καθε ορος της ακολουθιας ειναι >1 συνεπως το απειρογινομενο απειριζεται θετικα.
    Αν -1<=a_0<=1 υπαρχει γωνια με 0<=x<=π ωστε cosx=a_0. Τοτε παλι επαγωγικα θα ειναι a_n=cos(x/2^n).
    Κανουμε τωρα χρηση της sin2y=2sinycosy οποτε το μερικο γινομενο απλοποιειται και το οριο του υπολογιζεται ευκολα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosr9 — Δεκέμβριος 27, 2008 @ 9:00 μμ

  2. Alexandros9:

    Σωστή είναι η ιδέα σου όταν |a| \le 1. Στην άλλη περίπτωση όμως δεν είναι σωστό ότι ένα απειρο γινόμενο από όρους μεγαλύτερους του 1 αποκλίνει. Οι όροι πλησιάζουν το 1 και το αν συγκλίνει ή όχι εξαρτάται από πόσο γρήγορα το πλησιάζουν. Η ιδέα που είχες όμως κατάλληλα τροποποιημένη μπορεί να δουλέψει και σ’ αυτή την περίπτωση. Σκέψου φανταστικά.

    Για να γράψεις σε latex ανάμεσα σε δύο σύμβολα δολλαρίου γράψε τη λέξη latex και μετά την εντολή latex που θέλεις, για παράδειγμα αν βάλεις ανάμεσα σε δύο σύμβολα δολλαρίου τον παρακάτω κώδικα

    latex \displaystyle a_j \le \prod_{n=1}^{\infty}\cos(\frac{x}{2^n})

    θα πάρεις \displaystyle a_j \le \prod_{n=1}^{\infty}\cos(\frac{x}{2^n}). Δοκίμασέ το αφού θα βρεις τη λύση και για a>1, για να μας γράψεις μια ολοκληρωμένη λύση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Δεκέμβριος 27, 2008 @ 9:27 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: