Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 18, 2008

Κυματισμός υπό έλεγχο

Filed under: Λυμένα Προβλήματα,Με επιπλέον ερωτήματα — Mihalis Kolountzakis @ 1:48 πμ

Δείξτε ότι υπάρχει μια θετική σταθερά M<\infty τέτοια ώστε για κάθε 0<A<B<\infty να ισχύει

\displaystyle {\left| \int_A^B \frac{\sin x}{x} \,dx \right| \le M}.

Advertisements

7 Σχόλια »

  1. Από την ανισότητα του Abel (συνεχή μορφή) έχουμε ότι \left|\int_A^B\frac{\sin x}{x}\, dx\right|\leq \frac{1}{A}\sup_{A\leq x\leq B}\left|\int_A^x\sin t\, dt\right|\leq \frac{2}{A}. Αν λοιπόν είναι A\geq 1 τότε \left|\int_A^B\frac{\sin x}{x}\, dx\right|\leq 2. Αν A<1 σπάμε το ολοκλήρωμα από A ως 1 και από 1 ως B και βρίσκουμε ότι φράσεται από 2. Έτσι, σε κάθε περίπτωση είναι \left|\int_A^B\frac{\sin x}{x}\, dx\right|\leq 2.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από petvalet — Δεκέμβριος 22, 2008 @ 3:56 μμ

  2. Αν A<B\leq 1 έχουμε ότι \left|\frac{\sin x}{x}\right|\leq 1 οπότε πάλι ισχύει το συμπέρασμα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από petvalet — Δεκέμβριος 22, 2008 @ 4:01 μμ

  3. Σωστά.
    Μπορείς, επίσης, να χρησιμοποιήσεις απ’ ευθείας παραγοντική ολοκλήρωση. Άλλωστε, η απόδειξη της ανισότητας του Abel είναι ακριβώς μια παραγοντική ολοκλήρωση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 22, 2008 @ 9:31 μμ

  4. Ένας τρόπος ακόμη είναι να παρατηρήσει κανείς ότι

    \frac{1}{x}=\int_0^{\infty} e^{-ux}du

    και να χρησιμοποιήσει το θεώρημα του Fubini.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Δεκέμβριος 22, 2008 @ 10:03 μμ

  5. Αυτό που προτείνει ο Μιχάλης είναι και ένας τρόπος να υπολογιστεί ακριβώς η τιμή τού
    \displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\, dx,
    χωρίς να χρησιμοποιηθεί μιγαδική ανάλυση.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Themis Mitsis — Δεκέμβριος 22, 2008 @ 11:59 μμ

  6. Πολύ ωραία.

    Μπορείτε να αποδείξετε το ίδιο και για το άθροισμα

    \displaystyle \sum_{k=A}^B \frac{\sin{kx}}{k}

    όπου A<B δύο φυσικοί αριθμοί (ότι δηλ. το άθροισμα αυτό φράσσεται από μια σταθερά που δεν εξαρτάται από τα A, B);

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 25, 2008 @ 1:38 πμ

  7. Υπόδειξη για το άθροισμα στο προηγούμενο σχόλιο: βρείτε ένα τύπο για το άθροισμα

    \sin x + \sin {2x} + \cdots + \sin {Nx}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 7, 2009 @ 7:59 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: