Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 17, 2008

2009 ρίζες

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Michalis Loulakis @ 9:02 μμ

Θεωρήστε το πολυωνύμο

P(x)=x^{2009}-2x^{2008}+2x^{2007}+....

(οι υπόλοιποι όροι είναι μικρότερου βαθμού.) Μπορεί να έχει μόνο πραγματικές ρίζες;

Advertisements

2 Σχόλια »

  1. Χαιρεται.
    Ας υποθεσουμε πως θα μπορουσε. Τοτε χρησιμοποιωντας το θεωρημα Rolle στις
    p(x),p'(x),… p^{2007}(x) συμπεραινουμε πως η τελευταια εχει πραγματικες ριζες και αφου ειναι
    δευτεροβαθμια θα εχει μη αρνητικη διακρινουσα. Αν την υπολογισουμε ομως θα δουμε οτι ειναι αρνητικη
    και αυτο ειναι ατοπο. D=(2*2008*…*2)^2-4*(2009*..*3)*(2*2007*..*1)=
    =4*(2007!)^2*(2008^2-2009*2008)=-4*2008*(2007!)^2<0
    Συνεπως το p δεν μπορει να εχει μονο πραγματικες ριζες

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosr9 — Δεκέμβριος 17, 2008 @ 9:56 μμ

  2. Σωστά. Κι άλλη μια λύση: Από τους τύπους του Vieta, αν \rho_1,\ldots,\rho_{2009} είναι οι ρίζες του πολυωνύμου έχουμε ότι

    \displaystyle \sum_{j}\rho_j =2 και \displaystyle \sum_{(i,j): i\neq j}\rho_i\rho_j =2.

    Υψώνοντας την πρώτη στο τετράγωνο και αφαιρώντας τη δεύτερη πολλαπλασιασμένη με 2 έχουμε ότι \displaystyle \sum_j \rho_{j}^{2}=0 και άρα οι ρίζες δεν μπορεί να είναι όλες πραγματικές. (Δεν είναι όλες μηδέν αφού έχουν άθροισμα 2.)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Δεκέμβριος 18, 2008 @ 12:21 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: