Προβλήματα Μαθηματικών

Δεκέμβριος 8, 2008

Συνθετική τετραγωνική ρίζα

Filed under: Λυμένα Προβλήματα — Mihalis Kolountzakis @ 12:22 πμ

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση {f:{\mathbb R} \to {\mathbb R}} τέτοια ώστε για κάθε {x \in {\mathbb R}} να ισχύει

{e^x = f(f(x))};

Το πρόβλημα αυτό το έμαθα από τον Βύρωνα Βελλή.

Advertisements

23 Σχόλια »

  1. Χαιρετω το blog!
    Θα κανω μια προσπαθεια για αρχη.
    Ευκολα μια τετοια f ειναι 1-1 και αφου ειναι και συνεχης θα ειναι γνησιως μονοτονη.
    Προφανως θα ειναι γνησιως αυξουσα. Τοτε βλεπουμε οτι θα ειναι κατω απο την e^x και πανω απο την x.
    Οποτε το οριο της στο -οο θα ειναι 0. Τοτε το f(f(x)) θα τεινει λογω συνεχειας στο f(0).
    Ομως f(f(0))=0. Συνεπως 0=f(0). Αυτο ομως ειναι ατοπο γιατι για x f(x)<f(0)=0 Ατοπο γιατι
    η f ειναι παντα θετικη. Νομιζω ομως πως μονο για θετικα x μια τετοια f μπορει να υπαρχει.
    Για ολα τα προηγουμενα δεν ειμαι σιγουρος. Θα χαρω να μου σημειωσετε το λαθη μου.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosr9 — Δεκέμβριος 8, 2008 @ 7:12 πμ

  2. alexandrosr9:

    Μια συνάρτηση που είναι «πάνω από την x και κάτω από την e^x» όπως γράφεις έχει όριο \infty για x \to \infty.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 8, 2008 @ 11:22 πμ

  3. Με συγχωρειτε εκει που γραφω για οριο εννοω στο μειον απειρο.
    Επισης με τη φραση αυτη εννουσα x<=f(x)<=e^x

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosr9 — Δεκέμβριος 8, 2008 @ 11:33 πμ

  4. Εγώ το διάβασα λάθος, με συγχωρείς.

    Πώς βγάζεις όμως «Οποτε το οριο της στο {-\infty} θα ειναι 0″; Εγώ απλά συμπεραίνω από αυτά που γράφεις ({x \le f(x) \le e^x}) ότι θα είναι {\le 0}.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 8, 2008 @ 11:44 πμ

  5. Ομως απο τον ορισμο της και αφου ειναι 1-1 η συναρτηση παιρνει μονο θετικες τιμες.
    Αρα το οριο δεν μπορει να ειναι αρνητικο. Οποτε ειναι 0

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosr9 — Δεκέμβριος 8, 2008 @ 11:52 πμ

  6. Η {f(f(x))} παίρνει θετικές τιμές. Η f γιατί;

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 8, 2008 @ 12:08 μμ

  7. Εχετε δικιο δεν προκυπτει αμεσα. Δεν μπορω να το δειξω.
    Χωρις να ειμαι σιγουρος νομιζω οτι ισχυει.
    Αν παιρναμε ενα a<0 με f(a)0. Απο εδω δεν μπορω να προχωρησω.
    Σκεφτομαι μονο οτι η f ειναι συνεχης και αν ειχε μια τιμη αρνητικη τοτε και
    «κοντα» σε αυτην θα ηταν αρνητικη.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από alexandrosr9 — Δεκέμβριος 8, 2008 @ 12:24 μμ

  8. Δεν ξέρω αν αυτό που λέω είναι σωστό, αλλά μπορούμε να πούμε ότι αφού f συνεχής, γνησίως μονότονη και συγκεκριμένα γνησίως αύξουσα και με σύνολο τιμών το R, τότε με x->-οο f->-οο ;
    Αν ισχύει αυτό, τότε έστω x1->-οο ,οπότε f(x1)->-oo.
    Αλλά e^x=f(f(x)) για κάθε xεR. Επειδή e^x>0, xεR, άρα θα πρέπει και f(f(x))>0 για κάθε xεR.
    Στην προηγούμενη ανισότητα για x=x1: f(f(x1))>0
    Αλλά f(x1)->-oo, έστω f(x1)=x2. Άρα f(x2)>0, άτοπο, γιατί
    x2->-oo, άρα f(x2)->-oo

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Δεκέμβριος 8, 2008 @ 12:45 μμ

  9. Το σύνολο τιμών δεν είναι κατ’ ανάγκη το {\mathbb R}, αλλά κάποιο υποσύνολό του.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 8, 2008 @ 12:59 μμ

  10. Υπόδειξη:
    Η απάντηση είναι καταφατική.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 11, 2008 @ 6:40 μμ

  11. Με τη λύση που δίνω παρακάτω δείχνω ότι η απάντηση είναι αρνητική.Την παραθέτω,ωστόσο, γιατί δεν μπόρεσα να βρω κάποιο λάθος σε αυτήν.

    Έστω e^x=f(f(x)) (1) με f:R->R, f συνεχής.
    Αν x1,x2εR με x1<x2, τότε θα ισχύει ότι και e^x1<e^x2 άρα από την (1) και f(f(x1))<f(f(x2)) ή αλλιώς fof(x1)-oo f(x)= a , limx->+oo f(x)= b
    Ισχύουν επίσης:
    limx->-oo e^x = 0, limx->+oo e^x = +oo

    Αφού e^x=f(f(x)) για κάθε xεR, τότε θα πρέπει προφανώς οι συναρτήσεις των δύο μελών να έχουν και ίδιο σύνολο τιμών, και συγκεκριμένα το (0,+οο) λόγω της e^x.
    Αλλά fof,f γνησίως αύξουσες, άρα για x->-oo: f->a αλλά και το f(a) είναι το ελάχιστο για την fof (αφού παίρνει λόγω της σύνθεσης τιμές xεf(A) ).
    Όμως θα πρέπει limx->a f(x)= limx->-oo e^x = 0 (λόγω της μονοτονίας των e^x,f,fof). aεAf άρα limx->af(x)=f(a), επομένως f(a)=0.
    Όμοια προκύπτει ότι limx->bf(x)=+oo.

    Όμως,f(A)=(a,b)και υπαρχει xεR (το a)ώστε f να μηδενίζεται. Άρα, θα πρέπει το 0εf(A) ή 0ε(a,b),οπότε αναγκαστικά a0 f(1)>f(0) αφού f γνησίως αύξουσα ,άρα και (e^e)^a > e^a.Αλλά a<0,(και θετικές βάσεις) άρα e^e-oo f(x)= fmax= b
    limx->+oo f(x)= fmin= a
    με limx>-oo e^x=0, limx->+oo e^x= +oo
    Άρα, θα πρέπει limx->b f(x)=0,
    limx->a f(x)= +oo.
    bεAf=R, οπότε limx->b f(x)= f(b)=0.
    Όμοια, προκύπτει ότι f(e^b)=1.
    1>0 f(e^b)>f(b) και αφού f γνησίως φθίνουσα: e^b0.
    Επομένως, f δεν είναι γνησίως φθίνουσα.

    Δηλαδή, συνολικά, καταλήξαμε στο ότι,αν και η fof είναι γνησίως μονότονη, η f δεν είναι και αυτή γνησίως μονότονη. Άτοπο.
    Άρα, δεν υπαρχει τέτοια f:R->R, συνεχής που να ικανοποιεί την (1). (;)

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 12:00 μμ

  12. Δεν είναι έτσι η λύση που έδωσα. Κάποια τμήματα έχουν αφαιρεθεί.

    Στην αρχή δείχνώ ότι fof γνησίως αύξουσα,άρα θα πρέπει και η f γνησίως μονότονη. Και μετά παίρνω περιπτώσεις.

    Για f γνησίως αύξουσα και σύνολο τιμών f(A)=(a,b), το όριο στο -οο είναι a, στο +οο b.Μετά δείχνω ότι f(a)=0=limχ->-οο e^x, af(0).

    Για f γνησίως φθίνουσα,βγάζω f(b)=0, αλλά επειδή f(1)<f(0) ( αφού f γνησίως φθίνουσα ), βγαίνει e^b-b<0 άτοπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 3:09 μμ

  13. talsfan: Δε μπορώ εύκολα να καταλάβω το επιχείρημά σου,αλλά γιατί είναι {b<\infty};

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 3:23 μμ

  14. Δεν ξέρω αν αυτό βοηθάει, αλλά είναι σαν να λέω ( έχοντας f(A)=(a,b) ):
    i) για f γν. αύξουσα:
    για x=-oo,η 1: 0= f(fmin)= f(a)
    για x=+oo,η 1: +οο= f(fmax)= f(b)
    ii) για f γν. φθίνουσα:
    για x=-οο, η 1: 0= f(fmax)= f(b)
    για x=+οο,η 1: +οο= f(fmin)= f(a)

    Και στις δύο περιπτώσεις η f έχει ρίζα (α και β αντίστοιχα ), άρα α,β ετερόσημα ( ώστε το 0 να ανήκει στο (α,β), δηλαδή στο f(A) ).
    Άρα και στις 2 περιπτώσεις α0.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 3:57 μμ

  15. Επειδή πάλι έγινε λάθος στη μεταφορά, στο τέλος του τελευταίου σχολίου γράφω ότι α αρνητικός και β θετικός και στις δύο περιπτώσεις.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 3:59 μμ

  16. talsfan:

    Εξακολουθώ να μη μπορώ να το καταλάβω.

    Λοιπόν, μπορείς να υποθέσεις ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και ότι { f({\mathbb R}) = (a, +\infty) } με {a<0}. Πώς βγάζεις άτοπο από αυτό;

    Αν θέλεις να γράψεις latex γράφε ως εξής: $ latex {e^x = f(f(x))}$ (αλλά με το πρώτο δολλάριο κολλητά με το l της λέξης latex.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 7:10 μμ

  17. Για f γνησίως αύξουσα θα ισχύει ότι για x -> -oo , f(x)-> a= fmin. Τότε στην 1 αν x->-οο θα είναι 0= f(a). Οπότε a αρνητικός.

    Αφού f(a) = 0, από την 1, βγαίνει ότι:
    f(0) = e^a, f(e^a) = 1 και
    f(1) = (e^e)^a

    1 > 0 και αφού f γνησίως αύξουσα, τότε f(1) > f(0) και (e^e)^a > e^a.
    Αλλά a αρνητικός, οπότε από την τελευταία ανισότητα προκύπτει ότι
    e^e < e που είναι άτοπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 8:07 μμ

  18. talsfan:

    Είναι { f(1) = e^{(e^a)} } και όχι { f(1) = (e^e)^a } και αυτό δε δίνει άτοπο.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 8:17 μμ

  19. Έχετε δίκιο. Θα το κοιτάξω πάλι.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από talsfan — Δεκέμβριος 13, 2008 @ 8:30 μμ

  20. h prossegish tou na parw mia thn akoloy8ia merikwn a8roismatwn S_{n}(x) ths seiras taylor ths e sthn x kai na ftiaksw akoloy8ia g_{n}(x) me g_{n}(g_{n}(x))=S_{n}(x). kai istera na parw to orio auths paizei na doulepsei??

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από artnoage — Δεκέμβριος 23, 2008 @ 6:10 πμ

  21. Στην περίπτωση αυτή θα έπρεπε να δείξεις ότι η εξίσωση g_n(g_n(x))=S_n(x) έχει λύση. Αυτό δεν είναι ευκολότερο από το αρχικό πρόβλημα. Ακόμα και αν το δείξεις όμως, η εξίσωση αυτή εν γένει έχει άπειρες λύσεις οπότε θα πρέπει να εξηγήσεις και ποιά λύση διαλέγεις…

    Θα προχωρήσω λίγο ακόμη την υπόδειξη του Μιχάλη: η εξίσωση f(f(x))=e^x έχει άπειρες λύσεις στην κλάση των συνεχών συναρτήσεων.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Michalis Loulakis — Δεκέμβριος 23, 2008 @ 12:45 μμ

  22. Ας γράψω μια ιδέα: Όπως σημειώθηκε και σε προηγούμενα posts μια τέτοια συνεχής συνάρτηση οφείλει να είναι γνησίως μονότονη. Δε μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα (αν ήταν θα είχε σταθερό σημείο x_0 οπότε x_0=e^{x_0}, άτοπο). Επίσης, δε μπορεί να είναι
    \displaystyle {\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty}
    διότι τότε θα είχαμε
    \displaystyle \lim_{x\to \-infty}(f\circ f)(x)=-\infty,
    άτοπο. Άρα, υπάρχει a>0 ώστε \displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-a. Μάλιστα, f(-a)=0. Παρατηρούμε ότι αν έχουμε ορίσει την f στο (-\infty,-a], το διάστημα αυτό το απεικονίζει δεξιότερα, οπότε στο επόμενο πρέπει να την ορίσουμε κατάλληλα ώστε συνθέτοντας να πάρουμε την εκθετική. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο θα κινούμαστε όλο και δεξιότερα με αποτέλεσμα να καλύψουμε όλη την πραγματική ευθεία και κατ’ επέκτασην να έχουμε τον ορισμό της συνάρτησης.

    Δείχνουμε ότι για κάθε a>0 υπάρχει f_a που ικανοποιεί το συμπέρασμα του προβλήματος. Σταθεροποιούμε ένα a>0 και μια γνησίως αύξουσα, συνεχή συνάρτηση h_0:\mathbb R\to \mathbb R ώστε \displaystyle \lim_{x\to -\infty}h_0(x)=-a και h_0(-a)=0 (π.χ. h_0(x)=a(e^{x+a}-1)). Κατόπιν, ορίζουμε την f_a ως εξής: h_0(x) αν x\leq -a, h_1(x)=\exp(h_0^{-1}(x)) αν -a<x\leq 0, h_2(x)=\exp(h_1^{-1}(x)) αν 00 και b_{n+1}=e^{b_n} αποκλίνει στο +\infty θα καλύψουμε όλη την πραγματική ευθεία. M’ άλλα λόγια η συνάρτηση f_a που προκύπτει είναι f_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, συνεχής και έχει τη ζητούμενη ιδιότητα.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από petvalet — Ιανουαρίου 9, 2009 @ 6:55 πμ

  23. Πολύ σωστά. Αυτή είναι η λύση. Και δεν υπάρχει βέβαια τίποτα μαγικό με τη συνάρτηση e^x. Θα μπορούσε να είναι μια οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση στη θέση της γνησίως αύξουσα με όριο πεπερασμένο στο -\infty και \infty στο \infty.

    Μου αρέσει!

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιανουαρίου 9, 2009 @ 12:33 μμ


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Blog στο WordPress.com.

Αρέσει σε %d bloggers: